Domínio de integridade

Predefinição:Não confundir com Um domínio de integridade (ou anel de integridade)é um anel $(D,+,.)$ com as seguintes propriedades adicionais:

1. $\mathrm{\exists }1\in D(1\ne 0\wedge \mathrm{\forall }x\in D(1.x=x.1=x))$ (elemento neutro)
2. $\mathrm{\forall }x,y\in D(x.y=y.x)$ (comutatividade)
3. $\mathrm{\forall }x,y\in D(x.y=0\to (x=0\vee y=0))$ (não existem divisores de zero)

Exemplos

• O conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z}$
• Todo corpo é um domínio de integridade
• Analogamente, todo domínio de integridade finito é um corpo: seja a um elemento não-nulo de um domínio de integridade finito D. Então a função $f:D\to D,f(x)=ax$ é injetiva (caso contrário, f(x) = f(y), a x = a y logo a (x - y) = 0 e D teria divisores de zero), logo sobrejetiva, portanto existe b tal que f(b) = 1.
• Para qualquer corpo ou domínio de integridade D, o anel dos polinômios D[x] é um domínio de integridade.
• Os anéis finitos ${\mathbb{Z}}_n$ não são domínios de integridade quando n for um número composto, porque sendo $n=ab,$ então em ${\mathbb{Z}}_n\text{ , }ab=0.$ Quando n for um número primo, ${\mathbb{Z}}_n$ é um corpo (logo, é um domínio de integridade).

Corpo de frações

Predefinição:AP Para todo domínio de integridade D existe um corpo K, $D\subseteq K,$ tal que todo elemento de K pode ser escrito da forma a/b, sendo $a,b\in D.$

Este é o corpo de frações de D, e é único no seguinte sentido algébrico: se $K_1$ é outro corpo $K_1\supseteq D$ em que todo elemento de $K_1$ pode ser escrito como a/b com $a,b\in D,$ então K e $K_1$ são isomorfos.