Aritmética primitiva recursiva

A Aritmética Primitiva Recursiva(APR), é uma formalização dos números naturais, livre de quantificadores. Foi primeiramente proposta por Skolem como uma formalização de sua concepção finitista das fundações da aritmética, e é amplamente acordado que todo raciocínio da APR é finitista. Muitos acreditam que todo o finitismo é englobado pela APR, mas outros acreditam que o finitismo pode ser estendido à formas de recursão além da primitiva, como ε₀, que é a prova teórica ordinal da Aritmética de Peano. A prova teórica ordinar da ARP é ω^ω, onde ω é o menor ordinal transfinito. APR é geralmente chamada de Aritmética de Skolem.

A linguagem da APR pode expressar proposições aritméticas envolvendo números naturais e qualquer forma primitiva de função recursiva, incluindo as operações de adição, multiplicação e exponenciação. A APR não pode quantificar explicitamente sobre o domínio dos números naturais. A APR é geralmente tomada como o sistema matemático formal para teoria de provas, em particular para provas de consistência, como a prova de consistência de Gentzen da aritmética de primeira ordem.

Linguagem e axiomas

A linguagem da APR consiste de:

• Um número contável e infinito de variáveis x, y, z... cada um variando sobre os números naturais.
• Conectivos proposicionais
• O símbolo de igualdade =, o símbolo de constante 0 e o símbolo de sucessor S (significando adicionar um)
• Um símbolo para cada função recursiva primitiva

Os axiomas lógicos da APR são:

• Tautologias da lógica proposicional
• Axiomatização usual da igualdade como uma relação de equivalência

As regras lógicas da APR são modus ponens e substituição de variáveis

Os axiomas não-lógicos são:

• $S(x)\ne 0$;
• $S(x)=S(y)\to x=y,$

e equações recursivamente definidas para cada função primitiva recursiva desejada, especialmente:

• $x+0=x$
• $x+S(y)=S(x+y)$
• $x\cdot 0=0$
• $x\cdot S(y)=xy+x$

A APR substitui o sistema axiomático da indução da lógica de primeira ordem pela regra da indução (livre de quantificadores):

• From $\phi (0)$ and $\phi (x)\to \phi (S(x))$, deduce $\phi (y)$, for any predicate $\phi .$

Na aritmética de primeira ordem, as únicas funções primitivas recursivas que precisam ser explicitamente axiomatizadas são a adição e a multiplicação. Todos os outros predicados primitivos recursivos podem ser definidos usando essas duas funções primitivas recursivas e quantificação sobre os números naturais. Definir funções primitivas recursivas desta maneira não é possível na APR, pois ela não possui quantificadores.

Cálculo livre de conectivos lógicos

É possível formalizar a APR de uma maneira na qual ela não possui nenhum conectivo lógico - a sentença da APR é simplesmente uma equação entre dois termos. Desse modo, um termo é uma função primitiva recursiva de zero ou mais variáveis. Em 1941, Haskell Curry criou o primeiro sistema da APR livre de conectivos lógicos A regra de indução no sistema de Curry era incomum. Posteriormente, um refinamento foi feito por Reuben Goodstein. A regra de indução no sistema de Goodstein é:

$\frac{F(0)=G(0)F(S(x))=H(x,F(x))G(S(x))=H(x,G(x))}{F(x)=G(x)}.$

Aqui, x é uma variável, S é a operação de sucessor e F, G e H são qualquer função primitiva recursiva que podem possuir parâmetros diferentes dos aqui mostrados. A outra regra de inferência do sistema de Goodstein são as regras de substituição a seguir:

$\frac{F(x)=G(x)}{F(A)=G(A)}\frac{A=B}{F(A)=F(B)}\frac{A=BA=C}{B=C}.$

Onde A, B e C são quaisquer termos(funções primitivas recursivas de zero ou mais variáveis). Finalmente, temos símbolos para qualquer função primitiva recursiva com equações correspondentes, assim como no sistema de Skolem.

Desse modo, a lógica proposicional pode ser inteiramente descartada, os operadores lógicos podem ser expressos aritmeticamente e, por exemplo, o valor absoluto da diferença de dois números pode ser definido pela seguinte recursão primitiva:

$\begin{array}{cc}P(0)=0& P(S(x))=x\\ x\dot{-}0=x& x\dot{-}S(y)=P(x\dot{-}y)\\ |x-y|=& (x\dot{-}y)+(y\dot{-}x).\\ \end{array}$

Assim, as equações x=y e |x-y|=0 são equivalentes. Portanto, as equações $|x-y|+|u-v|=0$ e $|x-y|\cdot |u-v|=0$ expressam a conjunção e disjunção lógica, respectivamente, das equações x=y e u=v. A negação pode ser expressa como $1\dot{-}|x-y|=0$.

Ver também

• Aritmética recursiva elementar
• Aritmética de Heyting
• Axiomas de Peano
• Aritmética de segunda ordem
• Função recursiva primitiva

Ligações externas

• Feferman, S (1992) What rests on what? The proof-theoretic analysis of mathematics.