Axioma do conjunto vazio

Predefinição:Mais notas Em teoria axiomática dos conjuntos, o axioma do conjunto vazio é um postulado lógico para garantir, formalmente, a existência de um conjunto sem elementos. O axioma possui, usando-se a linguagem da lógica formal^[1], o seguinte enunciado:

\exists x \forall y \neg (y \in x) .

Em palavras,

Existe um conjunto sem elemento algum.

Em algumas formulações da axiomática de Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio vem incluso no axioma do infinito; em outras não. Contudo, em qualquer modelo axiomático da teoria dos conjuntos que admita a existência de um conjunto e possua o axioma-esquema da separação, como Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio é derivado como teorema. Realmente, escolhe-se um predicado contraditório e aplica-se o axioma-esquema da separação para tal predicado. Por exemplo, se $x$ é um conjunto, escolhendo $φ (y) : y \neq y$ temos que ${y \in x : φ (y)} = {y \in x : y \neq y}$ é um conjunto vazio.

Numa teoria axiomática de conjuntos em que o axioma-esquema da separação não é assumido, é preciso prová-lo como teorema usando o axioma-esquema da substituição; e, dependendo de como se formula o axioma-esquema da substituição, pode ser necessário assumir o axioma do conjunto vazio.