Cálculo matricial

Predefinição:Sem notas Predefinição:Cálculo Na matemática, o Cálculo matricial é uma notação especial para tratar o cálculo multivariável, especialmente em espaços de matrizes, onde está definida a derivada de uma matriz.

Esta notação é conveniente para descrever sistemas de equações diferenciais e para calcular o diferencial de funções de matrizes.

Esta notação é utilizada em Estatística e Engenharia; físicos preferem usar a notação de Einstein.

O princípio básico desta notação é tratar cada vetor como uma matriz coluna, e identificar uma matriz 1x1 com o escalar.

Notação

M(n,m) representa o espaço das matrizes reais nxm. Seus elementos serão representados como letras maiúsculas em negrito: F, X, Y, etc.

Um elemento de M(n,1), ou seja, um vetor coluna, será representado por letras minúsculas em negrito: x

Um elemento de M(1,n), ou seja, um vetor linha, será representado como o transposto de um vetor coluna, ou seja, x^T.

Os elementos de M(1,1) são identificados como os escalares, e representados por letras minúsculas em itálico: a, b, c, f, t etc.

Por padrão, as funções são supostas de class C¹.

Diferencial em relação a um vetor

Por esta notação, o diferencial em relação a um vetor se comporta, formalmente, como o vetor:

$\frac{\partial }{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial }{\partial x_1}& \frac{\partial }{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right]$

De modo que a derivada de um vetor y_{m x 1} em relação a outro vetor x_{n x 1} poderia ser formalmente escrita como uma multiplicação matricial do vetor-linha $\frac{\partial }{\partial x}$ pelo vetor-coluna y:

$\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}y=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial x_1}& \frac{\partial }{\partial x_2}& \dots \frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \dots \\ y_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ \dots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \frac{\partial y_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

Ligações externas

• Predefinição:Link
• Linear Algebra: Determinants, Inverses, Rank appendix D from Introduction to Finite Element Methods book on University of Colorado at Boulder. Uses the Hessian (transpose to Jacobian) definition of vector and matrix derivatives.Predefinição:En
• Matrix Reference Manual, Mike Brookes, Imperial College London.Predefinição:En
• The Matrix Cookbook, with a derivatives chapter. Uses the Hessian definition.Predefinição:En
• Linear Algebra and its Applications (author information page; see Chapter 9 of book), Peter Lax, Courant Institute.Predefinição:En
• Matrix Differentiation (and some other stuff), Randal J. Barnes, Department of Civil Engineering, University of Minnesota.
• Notes on Matrix Calculus, Paul L. Fackler, North Carolina State University.Predefinição:En
• Matrix Differential Calculus (slide presentation), Zhang Le, University of Edinburgh.Predefinição:En
• Introduction to Vector and Matrix Differentiation (notes on matrix differentiation, in the context of Econometrics), Heino Bohn Nielsen.Predefinição:En
• A note on differentiating matrices (notes on matrix differentiation), Pawel Koval, from Munich Personal RePEc Archive.
• Vector/Matrix Calculus More notes on matrix differentiation.Predefinição:En
• Matrix Identities (notes on matrix differentiation), Sam Roweis.Predefinição:En