Categoria vírgula

Na teoria das categorias, uma categoria vírgula (em inglês, comma category) é uma categoria cujos objetos correspondem a certos morfismos de outra categoria. Sua definição foi introduzida por William Lawvere, em 1963; o nome provém de uma de suas notações, que usa o sinal de pontuação vírgula.

Definição

Para quaisquer functores Predefinição:Math e Predefinição:Math, pode-se formar a categoria de vírgula Predefinição:Math, também denotada por Predefinição:Math e por Predefinição:Math, para a qual:

• a coleção de objetos consiste nas triplas Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é objeto de Predefinição:Math, Predefinição:Math é objeto de Predefinição:Math, e Predefinição:Math é morfismo em Predefinição:Math;
• a coleção de morfismos do objeto Predefinição:Math ao objeto Predefinição:Math consiste nas duplas Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é morfismo em Predefinição:Math e Predefinição:Math é morfismo em Predefinição:Math, satisfazendo Predefinição:Math, condição representada no diagrama comutativo:$$\begin{array}{ccccc}& F(a)& \stackrel{F(h)}{\to }& F(a^{\prime })& \\ f& \downarrow & & \downarrow & f^{\prime }\\ & G(b)& \stackrel{G(k)}{\to }& G(b^{\prime })& \end{array}$$
• as identidades e a operação de composição são dadas por:$$\begin{array}{cc}{1}_{(a,b,f)}& =(a,b,f)\stackrel{(1_a,1_b)}{\to }(a,b,f)\\ (a,b,f)\stackrel{(h,k)}{\to }(a^{\prime },b^{\prime },f^{\prime })\stackrel{(h^{\prime },k^{\prime })}{\to }(a^{″},b^{″},f^{″})& =(a,b,f)\stackrel{(h^{\prime }\circ h,k^{\prime }\circ k)}{\to }(a^{″},b^{″},f^{″})\end{array}$$

Exemplos

• Se Predefinição:Math for o functor levando o único objeto da categoria com um objeto e sem morfismos além da identidade ao conjunto de um elemento, e se Predefinição:Math é qualquer functor, então Predefinição:Math é isomorfa à categoria de elementos Predefinição:Math.
• Generalizando o exemplo anterior, se Predefinição:Math e Predefinição:Math são functores quaisquer, Predefinição:Math é chamada categoria de setas do objeto Predefinição:Math ao functor Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é a imagem de Predefinição:Math no único objeto de Predefinição:Math, e é denotada habitualmente por Predefinição:Math.
• Denotando-se por Predefinição:Math a categoria dos anéis comutativos, para cada Predefinição:Math, Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é o único functor com imagem Predefinição:Math e Predefinição:Math é o functor identidade, é isomorfa à categoria de álgebras comutativas sobre Predefinição:Math. Em vez de Predefinição:Math, pode-se escrever Predefinição:Math.

Limites e colimites

Dados functores Predefinição:Math e Predefinição:Math, a categoria vírgula Predefinição:Math:

• é completa desde que Predefinição:Math e Predefinição:Math sejam completas e Predefinição:Math seja functor contínuo;
• é cocompleta desde que Predefinição:Math e Predefinição:Math sejam cocompletas e Predefinição:Math seja functor cocontínuo.

Bibliografia

• Predefinição:Citar tese
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro