Conjunto equilibrado

Predefinição:Sem-fontes Um subconjunto $S$ de um espaço vectorial $X$ sobre um corpo $𝕂$ diz-se equilibrado se, para qualquer elemento $x$ de $S$ e qualquer $\lambda \in 𝕂$ com $|\lambda |\le 1$, se tiver $\lambda x\in S$.

Propriedades

• Qualquer subespaço vectorial de $X$ é equilibrado.
• Se $(S_i{)}_{i\in I}$ é uma família de equilibrados de $X$, então $\bigcap _{i\in I}{S}_i$ é equilibrado;
• Se $(S_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sucessão crescente de equilibrados de $X$, então $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$ é equilibrado;
• Se $f:X\to Y$ é uma aplicação linear, tem-se que:
  • se $S$ é equilibrado em $X$, então $f(S)$ é equilibrado em $Y$;
  • se $T$ equilibrado em $Y$, então $f^{-1}(T)$ é equilibrado em $X$.
• O invólucro convexo de um equilibrado de $X$ é equilibrado.

Invólucro equilibrado

Ao menor equilibrado de $X$ que contém $S$ chama-se o invólucro equilibrado de $S$. Este é dado por:

$\{\lambda x:x\in S,|\lambda |\le 1\}$.

O invólucro equilibrado de um subconjunto de $X$ depende do corpo $𝕂$. Por exemplo, em $X=ℂ$, considerado como espaço vectorial real, o invólucro equilibrado de $S=\{1\}$ é o intervalo $[-1,1]$. Mas, sendo $X$ um espaço vectorial complexo, o invólucro equilibrado de $S$ é o disco fechado, centrado na origem e raio 1.

Ver também

• Conjunto absolutamente convexo