Conjunto perfeito

Na matemática, em especial, na topologia, um conjunto perfeito é um conjunto fechado formado apenas por pontos de acumulação. Equivalentemente, um conjunto é dito perfeito se for fechado e não possui pontos isolados. Com isto temos que todo ponto de um conjunto perfeito pode ser aproximado por outros pontos deste mesmo conjunto perfeito, isto é, dados um ponto e uma vizinhança deste, existe um outro ponto nesta vizinhança.

Exemplos

Conjunto dos reais

O conjunto $ℝ$ dos números reais é um conjunto perfeito.

Demonstração.

É sabido que $ℝ$ é um conjunto fechado, portanto, basta mostrarmos que este não contém pontos isolados. Para tal, considere $x\in ℝ$ e $ϵ>0$, temos que $\frac{x+ϵ}{2}\in ℝ$ e $\frac{x+ϵ}{2}$ está na vizinhança de $x$ com raio $ϵ$. Logo, temos que $x$ não é um ponto isolado. Portanto, $ℝ$ é um conjunto perfeito.

Intervalos fechados

Todo intervalo fechado $I\subseteq ℝ$ é um conjunto perfeito.

Demonstração

Dado um intervalo fechado $I\subseteq ℝ$, temos que $I$ não contém pontos isolados, pois caso contrário $ℝ$ conteria pontos isolados. Logo, $I$ é um conjunto perfeito.

Teorema

Dado um ponto $x$ de um conjunto perfeito $P$, temos que existe uma sequência $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que, $x_n\in P\setminus \{x\}$, para todo $n$ inteiro positivo e $x_n⟶x$.

Demonstração

Como todo ponto de $P$ é ponto limite, o resultado segue imediatamente. Porém, podemos construir tal sequência da seguinte forma. Dado ${ϵ}_1$, temos que existe $x_1\in V_{{ϵ}_1}(x)\cap P\setminus \{x\}$. Indutivamente, dado um inteiro positivo $k$, seja ${ϵ}_k=\frac{{ϵ}_{k-1}}{2}$, temos que existe $x_k\in V_{{ϵ}_k}(x)\cap P\setminus \{x\}$. Note que a sequência $\{{ϵ}_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge para zero, o que implica que, para dado $ϵ>0$, existe um inteiro positivo $N$ tal que, para todo $n>N$, ${ϵ}_n<ϵ$. Porém, como $\Vert x_n-x\Vert <{ϵ}_n$, temos que $\Vert x_n-x\Vert <ϵ$, o que garante que $x_n⟶x$.

Teorema

Se um conjunto $P$ é perfeito em ${ℝ}^k$ e não é um conjunto vazio, então $P$ não é enumerável.

Demonstração

Como $P$ é perfeito, temos que $P$ é formado por pontos limites, de modo que $P$ é um conjunto infinito. Suponhamos, por absurdo, que $P$ seja um conjunto enumerável. Considere, portanto, $x_1,x_2,\dots$, seus elementos. Considere $V_1=\{y\in {ℝ}^k:\Vert y-x_1\Vert <r\}$, de modo que o fecho de $V_1$ é ${\overline{V}}_1=\{y\in {ℝ}^k:\Vert y-x_1\Vert \le r\}$. Considere, para os inteiros $n\ge 1$, as vizinhanças $V_{n+1}$ satisfazendo o seguinte.

(i) ${\overline{V}}_{n+1}\subset V_n$.

(ii) $x_n\notin {\overline{V}}_{n+1}$.

(iii) $V_{n+1}\cap P\ne \mathrm{\varnothing }$.

O item (iii) garante que esta construção pode ser feita indutivamente.

Agora, considere $K_n={\overline{V}}_n\cap P$. Como ${\overline{V}}_n$ é fechado e limitado, temos que ${\overline{V}}_n$ é um conjunto compacto. Como $x_n\notin K_{n+1}$, temos que nenhum ponto de $P$ pertence a $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_n$. Como $K_n\subset P$, temos que $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_n=\mathrm{\varnothing }$. Porém, pelo item (iii) temos que $K_n\ne \mathrm{\varnothing }$, pelo item (i) temos que $K_{n+1}\subset K_n$. Porém, isto é uma contradição. Predefinição:Referências