Ponto isolado

Em topologia, um ponto $x$ de um espaço topológico $X$ é dito um ponto isolado de um subconjunto $S\subseteq X$ se $x\in S$ e existe em $X$ uma vizinhança perfurada de $x$ que não contém nenhum ponto de $S$.

Em particular, em um espaço métrico, um ponto $x$ é dito isolado se existe $\epsilon >0$ tal que $x$ é o único ponto de $S$ no intervalo $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$, ou seja, se existe uma bola em torno de $x$ que não contém nenhum ponto de $S$. Equivalentemente, um ponto $x\in S$ é dito isolado se e somente se ele não é um ponto de acumulação de $S$.

Um conjunto cujos elementos são todos pontos isolados é dito um conjunto discreto. Um conjunto que não contém pontos isolados é dito denso em si mesmo. Um conjunto fechado que não contém pontos isolados é chamado de conjunto perfeito.

Exemplos

• No conjunto $S=\{0\}\cup [1,2]$, o ponto $0$ é um ponto isolado.
• O conjunto $S=\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots ,\frac{n}{n+1},\dots \}$ é discreto, já que seus pontos são todos isolados, e seu único ponto de acumulação é o número $1$, que não pertence ao conjunto.
• O conjunto $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ dos números naturais é um conjunto discreto.

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