Constante de Brun

A convergência para a constante de Brun

Em teoria dos números, o Teorema de Brun, provado por Viggo Brun em 1919, afirma que a soma dos inversos dos pares de números primos gémeos:

$B_2=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{29}+\frac{1}{31})+\cdots$

é convergente. O valor dessa soma é a chamada constante de Brun e vale aproximadamente 1.902160583104. Enquanto este valor é uma estimativa, está estabelecido que $1.840503<B_2<2.288490$.

Este resultado contrasta com a série dos inversos dos primos:

$B_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\cdots =\mathrm{\infty }$

que é divergente.