Série dos inversos dos primos

Predefinição:Reciclagem Predefinição:Sem fontes Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots$

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Demonstração

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto $E_k$ cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também $S_k$ como a soma dos inversos dos elementos de $E_k$, assim:

$S_0=1$

$S_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots$

$S_2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3^2}\dots$

É possível mostrar por indução que:

$S_k=(1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\frac{1}{p_k^3}+\dots )S_{k-1},k\ge 2$

Usando a série geométrica, temos:

$S_k=\frac{1}{1-p_k^{-1}}{S}_{k-1},k\ge 2$

E, portanto:

$S_k=\left(\frac{1}{1-p_k^{-1}}\right)\left(\frac{1}{1-p_{k-1}^{-1}}\right)\cdots \left(\frac{1}{1-p_1^{-1}}\right)=\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}$

tomando logaritmos, temos:

$\ln S_k=-\sum _{i=1}^k\ln (1-p_i^{-1})$

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

$-\ln (1-p_i^{-1})=\frac{1}{p_i}+\frac{1}{2p_i^2}+\frac{1}{3p_i^3}+\dots$

assim:

$\begin{array}{ccc}\ln S_k& =& \sum _{i=1}^k\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{p}_i^n}\\ & =& \sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}+\sum _{i=2}^k\frac{1}{p_i^2}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{p}_i^{n-2}}\\ & \le & \sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}+\sum _{i=2}^k\frac{1}{p_i^2}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i^{n-2}}\\ & =& \sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}+\sum _{i=2}^k\frac{1}{p_i^2-p_i}\end{array}$

Observamos que:

$\sum _{i=2}^k\frac{1}{p_i^2-p_i}\le \sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2-i}=\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i})=1$

e também que:

$S_k\ge \sum _{i=1}^k\frac{1}{k}\ge \ln k$

E finalmente:

$\sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}\ge \ln (\ln k-1)$

E o resultado segue dado que $\ln \ln k\to \mathrm{\infty }$ quando $k\to \mathrm{\infty }$

Outra demonstração

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural $k$ tal que:

$\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}<\frac{1}{2}$

Defina o conjunto $S(x)$ formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos $2,3,5,\dots ,p_k$:

$S(x)=\{n\in \mathbb{N}:n\le x\wedge p_i\nmid n,\mathrm{\forall }i>k\}$

E defina a função $N(x)$ como o número de elementos em $S(x)$.

A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1: $N(x)\le 2^k\sqrt{x}$

Todo número inteiro pode ser escrito na forma $p=q{m}^2$, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos $p\in S(x)$ só podem ter, como fatores primos, os primos $p_1,p_2,\dots p_k$, portanto o número q é da seguinte forma:

$q={p_1}^{e_1}{p_2}^{e_2}\dots {p_k}^{e_k}$

onde os expoentes $e_i$ valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, $2^k$ possibilidades para o valor do número q. Como m² ≤ x, temos que existem no máximo $\sqrt{x}$ possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2: $N(x)>\frac{x}{2}$

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo p_i, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo $p_i$ é inferior a $\frac{x}{p_i}$.

Portanto, temos a a estimativa:

$x-N(x)\le \sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{p_i}=x\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}<\frac{x}{2}$

ou, simplificando:

$N(x)>\frac{x}{2}$

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de Brun

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

$B_2=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{29}+\frac{1}{31})+\cdots \approx 1,9021605823.$

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.