Corpo das funções racionais

Corpo das funções racionais, em álgebra, se refere ao corpo cujos elementos são a divisão entre dois polinômios, dotado de operações de soma e produto que satisfazem as operações usuais de frações.

Assim como o termo polinômio pode significar uma função polinomial ou pode significar um polinômio no sentido formal, o corpo das funções racionais também pode significar dois objetos matemáticos, um corpo formado por funções, ou um corpo definido de forma abstrata.

Construção como um corpo de funções

O corpo da funções racionais com elementos reais pode ser rigorosamente construído a partir das funções racionais. Uma função racional é uma função que pode ser escrita como:

$f:ℝ\to ℝ$

$f(x)=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +b_0}$

em que b_n ≠ 0. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que b_n = 1.

Um cuidado importante deve ser tomado na definição de igualdade entre duas funções racionais. Pois pode ocorrer que duas funções racionais f e g possam ter domínios diferentes, como no caso em que o numerador e o denominador de f não tenha fatores comuns, mas eles tenham algum fator comum em g, e este fator comum tenha raízes reais. Assim, a igualdade f = g deve ser definida a menos de um número finito de elementos, ou seja, quando para todo x real, exceto um conjunto finito, f(x) = g(x).

Para definir F, o corpo das funções racionais, é preciso definir a soma (+), o produto (.) e os elementos neutros destas operações, respectivamente 0 e 1. Os elementos neutros são as funções constantes, ou seja 0_F é a função constante 0_F(x) = 0, etc.

Um cuidado adicional é necessário para se definir f + g e f . g, pois as definições usuais através de frações:

$(\frac{p}{q}+\frac{r}{s})(x)=\frac{p(x)s(x)+q(x)r(x)}{q(x)s(x)}$

$(\frac{p}{q}.\frac{r}{s})(x)=\frac{p(x)r(x)}{q(x)s(x)}$

tem o problema de que o resultado da operação é uma função racional cujo domínio é pelo menos tão restrito quanto f e g, ou seja, seu domínio é $\text{dom}f\cap \text{dom}g$. Então, a definição rigorosa de f + g e f . g consiste em aplicar estas fórmulas e cancelar os fatores comuns no resultado.

Exemplificando, sejam:

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$

$g(x)=\frac{x}{x^2-1}$

que são funções racionais cujo domínio exclui os números 1 e -1. Sua soma f + g é a função:

$\frac{1}{x^2-1}+\frac{x}{x^2-1}=\frac{1+x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$

que é uma função cujo domínio inclui -1 mas não inclui 1.

Com estas definições, temos o seguinte teorema:

F, com +, ., 0 e 1 definidos acima, é um corpo

a demonstração dá algum trabalho, pois é preciso, a cada etapa, remover as singularidades das operações. O inverso aditivo é trivial, -f é a função (-f)(x) = -f(x), e o inverso multiplicativo, chamado f^-1 é definido naturalmente como:

f = p/q então f^-1 = q/p

e é imediato mostrar que f(x) . f^-1(x) = 1 para todo real x, exceto nos pontos que não estão nos domínios de f e f^-1, o que completa a demonstração.

Como para todo número real existe uma função racional constante cujo contradomínio é este número, o corpo dos números reais pode ser considerado um subcorpo do corpo das funções racionais.

Construção como o corpo de frações do anel dos polinômios

Dado um domínio de integridade D, existe um único (a menos de isomorfismo) corpo de frações F de D, que é, formalmente, dado pelas classes de equivalência r/s, com r e s elementos de D.

Dado um corpo K qualquer, K[x], o anel dos polinômios em K, é um domínio de integridade. O corpo das funções racionais em K, definido como K(x), é o corpo de frações deste domínio de integridade.

Quando α é um elemento transcendente sobre K, então o corpo K(α) é isomórfico ao corpo das funções racionais em K.

Como um corpo ordenado

No caso do corpo das funções racionais reais, é possível construir uma relação de ordem total de forma que este corpo seja um corpo ordenado.

Intuitivamente, esta relação é definida considerando-se a função racional f(x) = x como sendo infinitamente grande, ou seja, 1 < x, 2 < x, 3 < x, etc.

Formalmente, um elemento do corpo das funções racionais

$f(x)=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +a_0}{x^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +b_0}$

é considerado positivo se, e somente se, a_m > 0.

Este corpo ordenado é não arquimediano.