Corpo de frações

Predefinição:Mais-notas Seja $(A,+,*)$ um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão $(B,+,*)$ que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.

De modo geral, $(B,+,*)$ é um corpo de frações do anel $(A,+,*)$ quando B for um corpo, e contiver um sub-anel A' isomórfico a A. Quando B existe (mais abaixo estão enumeradas as condições para sua existência) podemos dizer que B é o corpo de frações de A, porque qualquer outro corpo de frações de A será isomórfico a B.

Construção

A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros.

Como $(B,+,*)$ é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em $(A,+,*)$, a multiplicação também deve ser comutativa.

Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.

Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.

As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.

Como os elementos de B tem a forma $\frac{a_1}{a_2}$ para $a_1\in A\wedge a_2\in A\wedge a_2\ne 0$, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados $A\times A^{\star }=A\times (A-\{0\})$.

Define-se, em $A\times A^{\star }$:

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$

$(a,b)*(c,d)=(ac,bd)$

Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo $bd\ne 0$

Lembrando que $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc$, temos que considerar em $A\times A^{\star }$ a relação $\sim$ definida por $(a,b)\sim (c,d)⟺ad=bc$.

Prova-se facilmente que $\sim$ é uma relação de equivalência em $A\times A^{\star }$. Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em $A\times A^{\star }$ estão bem definidas no conjunto quociente $\frac{A\times A^{\star }}{\sim }$.

A projeção $\pi :A\mapsto \frac{A\times A^{\star }}{\sim }$ definida por $\pi (x)=[(x,1)]$ é um isomorfismo entre A e $\pi (A)$.

Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.

Unicidade

Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam i_A e i'_A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por:

$R=\{(b,b^{\prime })\in B\times B^{\prime }|\mathrm{\exists }p,q\in A,b=i_A(p)/i_A(q),b^{\prime }=i{\text{'}}_A(p)/i{\text{'}}_A(q)\}$

Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.