Extensão algébrica

Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo Predefinição:Math tal que todo elemento do corpo maior Predefinição:Mvar é algébrico sobre o corpo menor Predefinição:Mvar; isto é, todo elemento de Predefinição:Mvar é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em Predefinição:Mvar. Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.

As extensões algébricas do campo $\mathbb{Q}$ dos números racionais são chamados de campos de números algébricos e são os principais objetos de estudo da teoria algébrica dos números. Outro exemplo de extensão algébrica comum é a extensão $ℂ/ℝ$ dos números reais pelos números complexos.

Algumas propriedades

Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas. A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas. Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.

Seja Predefinição:Math um campo de extensão de Predefinição:Math e Predefinição:Math. O menor subcampo de Predefinição:Math que contém Predefinição:Math e Predefinição:Mvar é comumente denotado $K(a).$ Se Predefinição:Mvar é algébrico sobre Predefinição:Math, então os elementos de Predefinição:Math podem ser expressos como polinômios em Predefinição:Mvar com coeficientes em K; isto é, Predefinição:Math também é o menor anel contendo Predefinição:Math e Predefinição:Mvar. Nesse caso, $K(a)$ é uma extensão finita de Predefinição:Mvar (é um espaço vetorial Predefinição:Mvar de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre Predefinição:Mvar. Essas propriedades não são válidas se Predefinição:Mvar não for algébrico. Por exemplo, $\mathbb{Q}(\pi )\ne \mathbb{Q}[\pi ]$, e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre $\mathbb{Q}.$

Um campo algébrico fechado F não possui extensões algébricas próprias, ou seja, não possui extensões algébricas E com F < E. Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.

Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub K-álgebra de L é um corpo.

Bibliografia

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