Cotangente hiperbólica

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A cotangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da cotangente. É representado por $\text{cotgh}(x)$ ou $\coth (x)$ e expresso matematicamente por:

$\mathrm{cotgh(x)}=\frac{\cosh (x)}{\text{senh(x)}}=\frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$

que, por fim, resulta em:

$\mathrm{cotgh(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

Características

O domínio da função está definido para $(-\mathrm{\infty },0)$ e $(0,+\mathrm{\infty })$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo $(-\mathrm{\infty },-1)$ e $(1,+\mathrm{\infty })$. A função apresenta uma assíntota horizontal em $y=-1$ e em $y=1$. Em ambos lados da assíntota nós encontramos uma função monótona estritamente decrescente.

Derivada

A derivada da função é:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cotgh}x=1-{\mathrm{cotgh}}^{2}x=-\frac{1}{{\sinh }^{2}x}=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

Teorema de adição

A função cotangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:

$\mathrm{cotgh}(\alpha +\beta )=\frac{1+\mathrm{cotgh}\alpha \mathrm{cotgh}\beta }{\mathrm{cotgh}\alpha +\mathrm{cotgh}\beta }$