Cubo de Tychonoff

Em matemática, mas especificamente em topologia, o cubo de Tychonoff é a generalização do cubo unitário $[0,1{]}^n,n\in \omega$. A nomeação é devida a Andrey Tychonoff, por seu pioneirismo em considerar produtos arbitrários de espaços topológicos.

Definição

Denotamos por $I$ o intervalo $[0,1]$ da reta real. Dado um cardinal $\kappa \ge \omega$, definimos por cubo de Tychonoff de peso $\kappa$ o espaço $I^{\kappa },$, com a topologia produto, onde $I^{\kappa }$ é o produto ${\mathrm{\Pi }}_{s\in S}{I}_s$, tal que $|S|=\kappa$ e $I_s=I$, para todo $s\in S$. Em especial, $I^{\omega }$ é chamado de cubo de Hilbert.

Propriedades

• Pelo teorema de Tychonoff, o cubo de Tychonoff é compacto.

• Dado um número cardinal $\lambda \ge \kappa$, o espaço $I^{\lambda }$ é mergulhável em $I^{\kappa }$.

• Para qualquer $x\in I^{\kappa }$, temos que o caráter de tal ponto é $\kappa$.

• O cubo de Tychonoff $I^{\kappa },$ é um espaço universal para todos os espaços de Tychonoff de peso $\kappa \ge \omega$.

• O cubo de Tychonoff $I^{\kappa },$ é um espaço universal para todos os espaços compactos de peso $\kappa \ge \omega$.

Ver também

• Cubo de Cantor
• Cubo de Alexandroff
• Andrey Tychonoff
• Topologia produto

Referências

• Rysxard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.