Desigualdade de Boole

Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.

Formalmente, para um conjunto contável de eventos de $A_1,A_2,A_3,\dots$, temos

$\mathbb{P}\left(\bigcup _i{A}_i\right)\le \sum _i\mathbb{P}(A_i).$

Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é $\sigma$-sub-aditivo.

Prova

Prova usando indução

A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.

Para o caso $n=1$, segue-se que

$\mathbb{P}(A_1)\le \mathbb{P}(A_1)$.

Para o caso $n$, tem-se que

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)$.

Como $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$, e porque a operação de união é associativa, tem-se que

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}(A_{n+1})-\mathbb{P}(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\cap A_{n+1})$.

Como

$\mathbb{P}(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\cap A_{n+1})\ge 0$,

pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)\le \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}(A_{n+1})$,

e, portanto,

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)+\mathbb{P}(A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_i)$.

Prova sem o uso de indução

Para quaisquer eventos $A_1...A_i$ em um espaço de probabilidade, tem-se que

$\mathbb{P}(\bigcup _i{A}_i)\le \sum _i\mathbb{P}(A_i)$

Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se $B_1...B_i$ são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então

$\mathbb{P}(\bigcup _i{B}_i)=\sum _i\mathbb{P}(B_i)$

o que é chamado de aditividade contável.

Se $B\subset A$ então $\mathbb{P}(B)\le \mathbb{P}(A)$

De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(A-B)$

Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.

Então é preciso modificar os conjuntos de $A_i$ para que eles se torne disjuntos.

$B_i=A_i-\bigcup _{j=1}^{i-1}{A}_j$

Se $B_i\subset A_i$, então sabe-se que

$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$

Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:

$\mathbb{P}(\bigcup _i{A}_i)=\mathbb{P}(\bigcup _i{B}_i)=\sum _i\mathbb{P}(B_i)\le \sum _i\mathbb{P}(A_i)$

Desigualdades de Bonferroni

A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos. Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.

Definindo

$S_1:=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i),$

e

$S_2:=\sum _{1\le i<j\le n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j),$

bem como

$S_k:=\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}\mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k})$

para todos os números inteiros de $k$ em $\{3,\dots ,n\}$.

Então, para $k$ ímpares em $\{1,\dots ,n\}$,

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j-1}{S}_j$,

e para $k$ pares em $\{2,\dots ,n\}$,

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\ge \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j-1}{S}_j$.

A desigualdade de Boole é recuperada definindo $k=1$. Quando $k=n$, então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.

Veja também

• Conjuntos
• Evento
• Princípio da inclusão–exclusão diluído
• Teoria dos conjuntos
• George Boole

Bibliografia

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