Desigualdade de Chebyshev

Em matemática, a desigualdade de Chebyshev, também conhecida por desigualdade de Bienaymé-Chebyshev, é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema, e ao estatístico francês Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciado

Seja $(X,𝔐,\mu )$ um espaço de medida, $f:X\to [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ uma função mensurável, $g:Im(f)\to [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:

$\mu \left(\{x\in X:f(x)\ge t\}\right)\le \frac{1}{g(t)}\underset{X}{\int }g\circ fd\mu .$

Um caso particular de especial interesse acontece quando substituímos $f$ por $|f-c|$ e tomamos $g:[0,\mathrm{\infty }]\to ℝ$ como $g(x)=x^2$:

$\mu \left(\{x\in X:|f(x)-c|\ge t\}\right)\le \frac{1}{t^2}\underset{X}{\int }|f-c{|}^{2}d\mu .$

Se $f$ representa uma distribuição de probabilidades com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ então:

$\mathrm{Pr}(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$

Demonstração

Defina $A_t:=\{x\in X:f(x)\ge t\}$ e seja ${\mathrm{X}}_{A_t}$ a função indicadora de $A_t$ em $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$. Então:

$0\le g(t)1_{A_t}\le g\circ f{1}_{A_t}\le g\circ f$

E, portanto:

$g(t)\mu (A_t)=\underset{X}{\int }g(t)1_{A_t}d\mu \le \underset{A_t}{\int }g\circ fd\mu \le \underset{X}{\int }g\circ fd\mu$

E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por $g(t)$.

Bibliografia

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