Desigualdade de Hölder

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços L^p. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Desigualdade para somatórios finitos

Sejam $1<p,q<\mathrm{\infty }$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Sejam $a_n$ e $b_n$ seqüências se números reais ou complexos Então:

$\left|\sum _{n=1}^N{a}_n{b}_n\right|\le {(\sum _{n=1}^N|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{n=1}^N|b_n{|}^q)}^{\frac{1}{q}}$

Desigualdade para séries

Sejam $1<p,q<\mathrm{\infty }$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

E ainda, $a_n\in {\ell }^p$ e $b_n\in {\ell }^q$ (veja espaço lp), vale:

$\left|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n\right|\le \underset{N}{\sup }\sum _{n=1}^N|a_n{b}_n|\le \underset{N}{\sup }{(\sum _{n=1}^N|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{n=1}^N|b_n{|}^q)}^{\frac{1}{q}}\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|b_n{|}^q)}^{\frac{1}{q}}$

Desigualdade para integrais

Sejam $1<p,q<\mathrm{\infty }$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Sejam $f:D\to ℝ$ e $g:D\to ℝ$ funções $f\in L^p$, $g\in L^q$ e $V\subseteq D$, então:

$|\underset{V}{\int }f(x)g(x)dx|\le {(\underset{V}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{V}{\int }|g(x){|}^{q}dx)}^{\frac{1}{q}}$

Observe que a desigualdade implica $fg\in L^1(V)$

Demonstração

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

• $\tilde{f}(x)=\frac{f(x)}{{(\underset{V}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}}$
• $\tilde{g}(x)=\frac{g(x)}{{(\underset{V}{\int }|g(x){|}^{q}dx)}^{\frac{1}{q}}}$

Então estimemos pela desigualdade triangular:

$|\underset{V}{\int }f(x)g(x)dx|\le \underset{V}{\int }|f(x)g(x)|dx={(\underset{V}{\int }|f(x){|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{V}{\int }|g(x){|}^q)}^{\frac{1}{q}}\underset{V}{\int }|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x)|dx$

Basta mostrar que:

$\underset{V}{\int }|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x)|dx\le 1$

Agora, usamos a desigualdade de Young:

$|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x)|=|\tilde{f}(x)|\cdot |\tilde{g}(x)|\le \frac{1}{p}|\tilde{f}(x){|}^p+\frac{1}{q}|\tilde{g}(x){|}^q$

$|\underset{V}{\int }\tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx|\le \frac{1}{p}\underset{V}{\int }|\tilde{f}(x){|}^{p}dx+\frac{1}{q}\underset{V}{\int }|\tilde{g}(x){|}^{q}dx$

Da definição de $\tilde{f}(x)$ e $\tilde{g}(x)$, temos:

$\underset{V}{\int }|\tilde{f}(x){|}^{p}dx=\underset{V}{\int }|\tilde{g}(x){|}^{q}dx=1$

$|\underset{V}{\int }\tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx|\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

E finalmente:

$|\underset{V}{\int }f(x)g(x)dx|\le {(\underset{V}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{V}{\int }|g(x){|}^{q}dx)}^{\frac{1}{q}}$

Espaços L^p

Na linguagem dos espaços l^p, a desigualdade toma a forma:

${\Vert \{a_n{b}_n\}\Vert }_{{\ell }^1}\le {\Vert \{a_n\}\Vert }_{{\ell }^p}{\Vert \{a_n{b}_n\}\Vert }_{{\ell }^{p^{*}}}$

Nos espaços L^p, tem a forma:

${\Vert fg\Vert }_{L^1}\le {\Vert f\Vert }_{L^p}{\Vert g\Vert }_{L^{p^{*}}}$

Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) $p=1$ ou $p=\mathrm{\infty }$.

Ver também

• Desigualdade
• Desigualdade de Young
• espaço lp
• espaço Lp