Desigualdade de Weitzenböck

De acordo com a desigualdade de Weitzenböck, a área deste triângulo é, no máximo, Predefinição:Math

Em matemática, mais exatamente em geometria, a desigualdade de Weitzenböck, assim chamada após Roland Weitzenböck, afirma que para um triângulo de lados $a$, $b$, $c$, e de área $\mathrm{\Delta }$, segue a seguinte desigualdade

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}\mathrm{\Delta }.$

A igualdade ocorre se e somente se o triângulo é equilátero. A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck.

Provas

A prova desta desigualdade foi uma das questões da Olimpíada Internacional de Matemática de 1961. Mesmo assim, o resultado não é muito difícil de se obter usando a fórmula de Heron para a área do triângulo:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}.\end{array}$

Primeiro método

Este método não assume qualquer conhecimento de desigualdades, exceto que todos os quadrados são não negativos.

$\begin{array}{cc}& (a^2-b^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2+(c^2-a^2{)}^2\ge 0\\ ⟺& 2(a^4+b^4+c^4)-2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)\ge 0\\ ⟺& \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3}\ge \frac{4(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\\ ⟺& \frac{(a^4+b^4+c^4)+2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\ge 2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ ⟺& \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{3}\ge (4\mathrm{\Delta }{)}^2,\end{array}$

e o resultado segue imediatamente tomando-se a raiz quadrada positiva de ambos os lados. Desde a primeira desigualdade pode-se ver que a igualdade ocorre apenas para $a=b=c$ e se o triângulo é equilátero.

Segundo método

Para este método é necessário conhecer previamente a chamada desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias.

$\begin{array}{cccccc}& & a^2+b^2+c^2& \ge & & ab+bc+ca\\ ⟺& & 3(a^2+b^2+c^2)& \ge & & (a+b+c{)}^2\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c){\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & 4\sqrt{3}\mathrm{\Delta }.\end{array}$

Como foi usada a desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias, a igualdade só ocorre se $a=b=c$ e se o triângulo é equilátero.

Terceiro método

Pode ser demostrado que é uma área de um triângulo de Napoleão, sendo:

$\frac{1}{6}(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\mathrm{\Delta })$

logo, igual ou maior que 0.

Ver também

• Desigualdade de Hadwiger–Finsler
• Desigualdade de Pedoe

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld
• "Weitzenböck's Inequality," uma demonstração interativa por Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.