Diferença simétrica

Diagrama de Venn de $A\mathrm{△}B$
A diferença simétrica é
a união tirando a interseção:
$\setminus$ $=$

Em matemática, a diferença simétrica de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos, e não em sua interseção. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é comumente denotada por

$A\mathrm{△}B,$

ou

$A\ominus B,$

ou

$A\oplus B.$

Por exemplo, a diferença simétrica dos conjuntos $\{1,2,3\}$ e $\{3,4\}$ é $\{1,2,4\}$.

O conjunto das partes de qualquer conjunto torna-se um grupo abeliano sob a operação de diferença simétrica, sendo o conjunto vazio como o elemento neutro do grupo e cada elemento deste grupo o seu próprio inverso. O conjunto das partes de qualquer conjunto se torna um anel booleano usando a diferença simétrica como a adição do anel e intersecção como a multiplicação do anel.

Propriedades

Diagrama de Venn de $A\mathrm{△}B\mathrm{△}C$ $\mathrm{△}$ $=$

A diferença simétrica é equivalente à união de ambas as diferenças, que é:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A),$

A diferença simétrica também pode ser expressa usando a operação XOR, ⊕, sobre os predicados que descrevem os dois conjuntos da seguinte forma:

$A\mathrm{△}B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

A diferença simétrica também pode ser expressa como a união de dois conjuntos, menos a sua interseção:

$A\mathrm{△}B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),$

Em particular, $A\mathrm{△}B\subseteq A\cup B$; a igualdade na inclusão não-estrita ocorre se, e somente se, $A$ e $B$ são conjuntos disjuntos. Além disso, se denotamos $D=A\mathrm{△}B$ e $I=A\cap B$, então $D$ e $I$ sempre são disjuntos, e portanto $D$ e $I$ formam uma partição de $A\cup B$. Consequentemente, assumindo interseção e diferença simétrica como operações primitivas, a união de dois conjuntos pode ser bem definido em termos de diferença simétrica pelo lado direito da igualdade

$A\cup B=(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}(A\cap B)$.

A diferença simétrica é comutativa e associativa (e, consequentemente, o conjunto de parênteses na expressão anterior foi, portanto, desnecessário):

$A\mathrm{△}B=B\mathrm{△}A,$

$(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C).$

A primeira dessas (comutatividade) tem sua demonstração com poucos e simples passos, uma vez que sabemos que a união também é comutativa:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(B\setminus A)\cup (A\setminus B)=B\mathrm{△}A$

Já a segunda, a associatividade, exige um pouco mais de passos para sua demonstração:

$(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=((A\mathrm{△}B)\setminus C)\cup (C\setminus (A\mathrm{△}B))=(((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\setminus C)\cup (C\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A)))$

A partir daí, vamos separar a expressão em duas partes para prosseguir a demonstração. A primeira parte da expressão será o lado esquerdo do operador de união principal, onde usaremos a propriedade de distributividade pela esquerda da diferença de conjuntos, depois a propriedade de "diferença da união":

$((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\setminus C=((A\setminus B)\setminus C)\cup ((B\setminus A)\setminus C)=(A\setminus (B\cup C))\cup (B\setminus (A\cup C))$

Na segunda parte da expressão principal, serão utilizadas propriedades de complemento de conjuntos (encontradas na mesma página sobre diferença de conjuntos), novamente a propriedade de diferença da união, além de propriedades de distributividade entre união e intersecção:

$C\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A))=(C\setminus (A\setminus B))\setminus (B\setminus A)=C\cap (A\setminus B{)}^{\complement }\cap (B\setminus A{)}^{\complement }=C\cap (A^{\complement }\cup B)\cap (B^{\complement }\cup A)=$

$C\cap ((A^{\complement }\cap (B^{\complement }\cup A))\cup (B\cap (B^{\complement }\cup A)))=C\cap ((A^{\complement }\cap B^{\complement })\cup (B\cap A))=(C\setminus (A\cup B))\cup (C\cap B\cap A)$

Por fim, ao juntar essas duas partes, substituindo na expressão inicial suas equivalências encontradas e utilizando as propriedades de comutatividade, temos:

$(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=(A\setminus (B\cup C))\cup (B\setminus (A\cup C))\cup (C\setminus (A\cup B))\cup (C\cap B\cap A)=$

$(B\setminus (C\cup A))\cup (C\setminus (B\cup A))\cup (A\setminus (B\cup C))\cup (A\cap C\cap B)=(B\mathrm{△}C)\mathrm{△}A=A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C)◻$

O conjunto vazio é neutro, e cada conjunto é o seu próprio inverso:

$A\mathrm{△}\varnothing =A,$

$A\mathrm{△}A=\varnothing .$

A intersecção é distributiva em relação à diferença simétrica:

$A\cap (B\mathrm{△}C)=(A\cap B)\mathrm{△}(A\cap C),$

e isso mostra que o conjunto de potência de X torna-se um anel com diferença simétrica como a adição e a intersecção de multiplicação. Este é um exemplo de um anel booleano.

Mais propriedades da diferença simétrica:

• $(A\setminus B)\mathrm{△}B=A\cup B$
• $A\mathrm{△}B=A^{\complement }\mathrm{△}{B}^{\complement }$, tal que $A^{\complement }$ e $B^{\complement }$ são os complementares de $A$ e $B$, respectivamente, relativo a qualquer conjunto fixo que contenha ambos os conjuntos.

• $\left(\bigcup _{\alpha \in ℐ}{A}_{\alpha }\right)\mathrm{△}\left(\bigcup _{\alpha \in ℐ}{B}_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in ℐ}\left(A_{\alpha }\mathrm{△}{B}_{\alpha }\right)$, se $ℐ$ é um conjunto de índices arbitrário porém não vazio 

• Se $f:S\to T$ é qualquer função e $A,B\subseteq T$ são conjuntos em codomínios de $f$$f^{-1}\left(A\mathrm{\Delta }B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathrm{\Delta }{f}^{-1}\left(B\right)$.

A diferença simétrica pode ser definida em qualquer álgebra Booleana da seguinte maneira:

$x\mathrm{△}y=(x\vee y)\wedge \mathrm{\neg }(x\wedge y)=(x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee (y\wedge \mathrm{\neg }x)=x\oplus y.$

Esta operação tem as mesmas propriedades que a diferença simétrica de conjuntos.

Diferença simétrica em espaços de medida

Enquanto houver uma noção de "quão grande " é um conjunto, a diferença simétrica entre dois conjuntos pode ser considerada uma medida de quão "longe" eles estão. Primeiro, considere um conjunto finito S e a medida de contagem em subconjuntos dada pelo seu tamanho. Agora, considere dois subconjuntos de S e defina distância como o tamanho da sua diferença simétrica. Esta distância é, na verdade, uma métrica de modo que o conjunto das partes de S é um espaço métrico. Se S tem n elementos, então a distância a partir do conjunto vazio de S é n, e este é o máximo de distância, para qualquer par de subconjuntos.

Usando as ideias da teoria da medida, a separação de conjuntos mensuráveis pode ser definida como a medida de sua diferença simétrica. Se μ é uma medida σ-finita definida em uma σ-algebra Σ, a função

$d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\mathrm{△}Y)$

é uma pseudométrica em Σ. d_μ torna-se uma métrica se Σ é considerada módulo da relação de equivalência X ~Y se, e somente se, $\mu (X\mathrm{△}Y)=0$. O espação métrico resultante é separável se e somente se L²(μ) é separável.

Se $\mu (X),\mu (Y)<\mathrm{\infty }$, temos: $|\mu (X)-\mu (Y)|\le \mu (X\mathrm{△}Y)$. De fato,

$\begin{array}{cc}|\mu (X)-\mu (Y)|& =|(\mu (X\setminus Y)+\mu (X\cap Y))-(\mu (X\cap Y)+\mu (Y\setminus X))|\\ & =|\mu (X\setminus Y)-\mu (Y\setminus X)|\\ & \le |\mu (X\setminus Y)|+|\mu (Y\setminus X)|\\ & =\mu (X\setminus Y)+\mu (Y\setminus X)\\ & =\mu ((X\setminus Y)\cup (Y\setminus X))\\ & =\mu (X\mathrm{\Delta }Y)\end{array}$

Seja $S=(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ um espaço de medida e sejam $F,G\in 𝒜$ e $𝒟,ℰ\subseteq 𝒜$.

A diferença simétrica é mensurável: $F\mathrm{△}G\in 𝒜$.

Podemos escrever $F=G[𝒜,\mu ]$ se, e somente se $\mu \left(F\mathrm{△}G\right)=0$. A relação "$=[𝒜,\mu ]$" é uma relação de equivalência em a conjuntos $𝒜$-mensuráveis.

Podemos escrever $𝒟\subseteq ℰ[𝒜,\mu ]$ se, e somente se, para cada $D\in 𝒟$ existir algum $E\in ℰ$ de tal forma que $D=E[𝒜,\mu ]$. A relação "$\subseteq [𝒜,\mu ]$" é uma ordem parcial sobre a família de subconjuntos de $𝒜$.

Podemos escrever $𝒟=ℰ[𝒜,\mu ]$ se, e somente se, $𝒟\subseteq ℰ[𝒜,\mu ]$ e $ℰ\subseteq 𝒟[𝒜,\mu ]$. A relação "$=[𝒜,\mu ]$" é uma relação de equivalência entre os subconjuntos de $𝒜$.

O "fecho simétrico" de $𝒟$ é o conjunto de todos os conjuntos $𝒜$-mensuráveis que são $=[𝒜,\mu ]$ para algum $D\in 𝒟$. O fecho simétrico de $𝒟$ contém $𝒟$. Se $𝒟$ é um sub-$\sigma$-álgebra de $𝒜$, o fecho simétrico em questão também será.

Distância de Hausdorff vs. Diferença Simétrica

Duas sequências de formatos ilustrando as diferenças entre a distância de Hausdorff e a diferença simétrica.

A distância de Hausdorff e a (área da) diferença simétrica são ambos pseudométricas sobre o conjunto formas geométricas mensuráveis. No entanto, eles se comportam de forma bastante diferente. A figura ao lado mostra duas sequências de formas, "Vermelho" e "Vermelho ∪ Verde". Quando a distância de Hausdorff entre eles torna-se menor, a área da diferença simétrica entre eles torna-se maior, e vice-versa. Continuando estas sequências em ambas as direções, é possível obter duas seqüências tais que a distância de Hausdorff entre eles irá convergir para 0 e a distância simétrica irá divergir, ou vice-versa.

Veja também

• Complementar
• Simetria
• Lógica fuzzy

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:MathWorld
• Diferença simétrica de conjuntos. Na Enciclopédia de Matemática em inglês.