Distribuição de Wigner

Em matemática, a distribuição de Wigner é uma transformação bilinear usada na análise de sinais cujo espectro de frequência varia com o tempo (espectros chamados não-estacionários ou dinâmicos). A exemplo da transformada de Fourier de curto termo e da transformada de Wavelet, ela mapeia funções do domínio do tempo para o espaço misto tempo-frequência .

A distribuição de Wigner possui a grande desvantagem de não ser linear: considerando f(t) como a soma de duas componentes f₁ e f₂(t), com distribuições associadas W₁ e W₂(ω,τ), em geral W(ω,τ) ≠ W₁(ω,τ) + W₂(ω,τ). Essa não-linearidadee traz muitos inconvenientes na análise, por isso prefere-se empregar a transformada de Wavelet em seu lugar.

Definições

A distribuição de Wigner de uma função f(t) é uma função complexa W(ω,τ) dada pela expressão

$𝒲\{f(t)\}=W(\omega ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau +\frac{t}{2})\cdot f^{*}(\tau -\frac{t}{2})\cdot e^{-i\omega t}dt(1a)$

onde o asterisco (^*) denota o conjugado complexo. A transformação inversa é dada pela expressão

$f(t)={𝒲}^{-1}\{W(\omega ,\tau )\}=\frac{1}{2\pi \cdot f^{*}(0)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}W(\omega ,\frac{\tau }{2})\cdot e^{i\omega \tau }d\omega (1b)$

Propriedades

Relação com a transformada de Fourier

Por inspeção, ver que as equações (1a) e (1b) podem ser escritas como

$W(\omega ,\tau )=ℱ\{f(\tau +\frac{t}{2})\cdot f^{*}(\tau -\frac{t}{2})\}(2a)$

e

$f(t)=\frac{1}{f^{*}(0)}\cdot ℱ\left\{W(\omega ,\frac{t}{2})\right\}(2b)$

onde $ℱ\left\{W(\omega ,\frac{t}{2})\right\}$ é a transformada de Fourier da distribuição W(ω,τ) com $\tau =\frac{t}{2}$.

Além disso, Se denotarmos a transformada de Fourier de uma função f(t) por F(ω) e sua distribuição de Wigner por W(ω,τ), então teremos

$𝒲\{F(\omega )\}=W(\tau ,-\omega )(2c)$

Espectro de potência

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|\frac{}{}f(t)|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}W(\omega ,\tau )d\omega d\tau =\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|\frac{}{}F(\omega )|}^{2}d\omega (2a)$

Tabela de distribuições de Wigner

Tabela 1 - Distribuições de Wigner correspondentes a algumas funções f(t)

$f(t)$	$W(\omega ,\tau )$
$\delta (t-a)$	$\delta (\tau -a)$
$e^{i(a{t}^2+bt+c)}$	$\delta (\frac{a}{\pi }\tau +\frac{b-\omega }{2\pi })$
$\cos (at)$	$\frac{1}{4}[\delta \left(\frac{\omega +a}{2\pi }\right)+\delta \left(\frac{\omega -a}{2\pi }\right)+2\cos (2a\tau )\cdot \delta \left(\frac{\omega }{2\pi }\right)]$
onde: $\delta (t)$ é a função impulso unitário

Distribuição cruzada de Wigner

Para um par de funções f e g(t) define-se a distribuição cruzada de Wigner através da equação

${𝒲}_c\{f(t),g(t)\}=W_c(\omega ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau +\frac{t}{2})\cdot g^{*}(\tau -\frac{t}{2})\cdot e^{i\omega t}dt(3a)$

onde o asterisco (^*) denota o conjugado complexo. Em aplicações práticas, f(t é o sinal que se deseja analisar e g(t) representa uma janela deslizante que seleciona segmentos temporais desse sinal, a exemplo do que se faz com as transformadas de Fourier de tempo curto e de Wavelet.

Predefinição:Referências

Ver também

• Teoria das distribuições
• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier
• Wavelet
• Função ambiguidade