Domínio fatorial

Fluxograma das relações entre estruturas algébricas diversas

Em teoria dos anéis, um domínio de integridade $D$ é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:

1. $\mathrm{\forall }a\in D$, se $a\notin D^{*}$ (onde $D^{*}$ é o conjunto das unidades de $D$) e $a=0$ temos que $\mathrm{\exists }{c}_i\in D$ irredutíveis $\mathrm{\forall }i\in I_n$ tal que $a=\prod _{i=1}^n{c}_i$.
2. Seja $a=\prod _{i=1}^n{c}_i$ e $a=\prod _{j=1}^m{d}_j$ com $c_i,d_j$ irredutíveis $\mathrm{\forall }i\in I_n$ e$\mathrm{\forall }j\in I_m$ $\Rightarrow m=n$ e $\mathrm{\exists }\sigma :I_n\to I_n$ bijeção, tal que $c_i$ é associado a $d_{\sigma (i)}$.

Exemplos

• O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$ $a$ é associado a $-a$ temos:

1. $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$, se $a\notin \{-1,1\}$ e $a=0$ temos que $\mathrm{\exists }{c}_i\in D$ irredutíveis $\mathrm{\forall }i\in I_n$ tal que $a=\prod _{i=1}^n{c}_i$.
2. Seja $a=\prod _{i=1}^n{c}_i$ e $a=\prod _{j=1}^m{d}_j$ com $c_i,d_j$ irredutíveis $\mathrm{\forall }i\in I_n$ e$\mathrm{\forall }j\in I_m$ $\Rightarrow m=n$ e $\mathrm{\exists }\sigma :I_n\to I_n$ bijeção, tal que $c_i$ é associado a $d_{\sigma (i)}$ (isto é, como $c_i$ é primo então $d_{\sigma (i)}=c_i$ ou $d_{\sigma (i)}=-c_i$).

• Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
• Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

Unidades e D*

Predefinição:Artigo principal Seja $D$ um anel comutativo, $u\in D$ é unidade, então $\mathrm{\exists }{u}^{-1}\in D$ tal que $u{u}^{-1}=1$. O elemento $u^{-1}$ é chamado de elemento inverso de $u$.

$D^{*}\subset D$ é o conjunto de todas as unidades de $D$. Logo $u\in D$ é unidade, então $u\in D^{*}$.

• Seja $1\in D$ a identidade. Como $1*1=1$, então $1$ é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
• Seja $D=K$ um corpo. $\mathrm{\forall }a\in K$, $a$ é unidade. Logo $K=K^{*}$.
• Seja $D=\mathbb{Z}$.

1. 1, -1 são unidades.
2. Como $|a||b|=|ab|$ e $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z},|x|\ge 1$. Então$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}$ tal que $|x|\ge 2$, $x$ não é unidade.
3. ${\mathbb{Z}}^{*}=\{-1,1\}$.

Divisão para anéis e elementos associados

Sejam $D$ um anel comutativo e $a,b\in D$, $a|b$ (i. é $a$ divide $b$) se $\mathrm{\exists }q\in D$, tal que $b=qa$. E ainda, $a,b\in D$ são associados se $a|b$ e $b|a$.

• Seja $D$ um dominio:

1. Seja $a,b\in D$ associados. $a|beb|a\Rightarrow \mathrm{\exists }u,u^{-1}\in D$ tal que $b=au$ e $a=b{u}^{-1}$. Logo $a=0\iff b=0$.Faça $a=0$. Então $a=au{u}^{-1}\Rightarrow a*(u{u}^{-1}-1)=0\Rightarrow u{u}^{-1}-1=0\Rightarrow u{u}^{-1}=1$. Logo $u$ é unidade. Assim $\mathrm{\exists }u\in D$ unidade tal que $b=au$.
2. Seja $a,b\in D$ tal que $\mathrm{\exists }u\in D$ unidade com $b=au$. Logo $a|b$. Ainda mais, $u$ é unidade, logo $\mathrm{\exists }{u}^{-1}\in D$ tal que $u*u^{-1}=1$.Assim $b=au\Rightarrow b{u}^{-1}=au{u}^{-1}\Rightarrow b{u}^{-1}=a$. E por fim $b|a$. Logo $a|b$ e $b|a$, logo $a,b$ são associados.
3. Portanto em um domínio, $a,b\in D$ são associados se e somente se $\mathrm{\exists }u\in D$ unidade tal que $b=au$.

• Em um corpo $K$, $\mathrm{\forall }x,y\in K$, x e y são associados.
• Nos inteiros $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$, $-n$ é seu associado.

Elementos Irredutíveis

Predefinição:Artigo principal Seja $A$ um anel comutativo. Um elemento $c\in A$ é irredutivel se $c\ne 0$, se $c\in ̸A^{*}$ e se $c=ab$ com $a,b\in A$ então $a$ ou $b$ é unidade.

Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que $p\in A$ é primo se $p\ne 0$, $p\in ̸A^{*}$ e se $p|ab$ com $a,b\in A$ então $p|a$ ou $p|b$.

• Seja $A$ um domínio e $p\in A$ primo. Seja $p=ab\Rightarrow p|ab\Rightarrow p|aoup|b$. Sem perda de generalidade, seja $p|a\Rightarrow \mathrm{\exists }q\in A$ tal que $a=pq\Rightarrow a=abq$. Como $a=0$, então $b$ é unidade. Logo p é irredutivel.
• Seja $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]=\{a+ib\sqrt{5}|a,b\in \mathbb{Z}\}$. $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ é um domínio, $2,3\in \mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ são irredutíveis, mas não são primos já que $2*3=6=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$.

Referências

• Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
• Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)

Ligações externas

• Eric Campos Bastos Guedes; DOMÍNIO FATORIAL - mathfire.sites.uol.com.br