Dízima periódica

Predefinição:Mais fontes Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.

Exemplos de dízimas

$\frac{1}{2}=0,5=50\mathrm{\%}$ - dízima finita (ou decimal exato).

$0,3333333333...$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

$2,3256565656...$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

Período e comprimento de uma dízima periódica infinita

O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima: $0,4629629...=0,4\overline{629}$.

Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.

Exemplos:

• 0,444444… - "4" é o período.
• 0,5125125125… - "512" é o período.
• 0,68686868… - "68" é o período.
• 0,354235423542.. - "3542" é o período.
• 5,73737373... - "73" é o período.

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.

Exemplos:

• 0,7888… - "7" é o anteperíodo.
• 0,58444444… - "58" é o anteperíodo.
• 0,15262626… - "15" é o anteperíodo.
• 2,34222222... - "34" é o anteperíodo.

Exemplos e notação

A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.

• $\frac{1}{3^4}=0,012345679012345679\dots$
• $\frac{1}{3}=0,333333333333\dots$
• $\frac{1}{7}=0,142857142857\dots$
• $\frac{1}{9}=0,111111111111\dots$

• $\frac{1}{3^4}=0,\overline{012345679}$
• $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$
• $\frac{1}{9}=0,\bar{1}$
• $\frac{1}{3}=0,\bar{3}$

Fração geratriz de uma dízima periódica

Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

1. Seja a dízima $x=1,253535353\dots$. Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número $10x$ para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima:

$10x=12,5353535353\dots$

2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

$$1000x=1253,535353....$$

3. Se subtrairmos $10x$ de $1000x$ temos:

$\begin{array}{ccc}1000x& =& 1253,5353535353\dots \\ 10x& =& 12,53535353\dots \\ 990x& =& 1241\end{array}$

Portanto, $x=1,2535353...=\frac{1241}{990}$

Este raciocínio dedutivo pode ser aplicado a qualquer dízima periódica para encontrar sua fração geratriz.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

Algoritmo Usual

A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo:

1. Encontre a parte inteira e o período.
2. Escreva uma fração em que o numerador seja um número formado pelos algarismos da parte inteira e do período subtraído da parte inteira e que o denominador tenha o algarismo 9 para cada dígito que compõe o período.

Exemplo:

$1,3232...=1,\overline{32}$

A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves").

$1,3232...=1,\overline{32}=\frac{132-1}{99}=\frac{131}{99}$

Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.

Por exemplo:

$0,14275275275...=0,14\overline{275}$

Anteperíodo: 14, sendo formado por 2 algarismos, logo, o denominador terá dois "zeros".

Período: 275, sendo formado por 3 algarismos, logo, o numerador terá três "noves".

O numerador será um número formado pelos algarismos da parte inteira (0), anteperíodo (14) e período (275), ou seja, 14275, subtraído do anteperíodo (14). O denominador será 99900, pois o período é composto por 3 algarismos (999) e o anteperíodo é composto por 2 algarismos (00). Dessa forma, $\frac{14275-14}{99900}=\frac{14261}{99900}$. Portanto, a geratriz da dízima 0,14275275... é $\frac{14261}{99900}$.

Dízimas periódicas e séries geométricas infinitas

Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente, por exemplo:

A dízima $0,313131...$ (que pode ser reescrita na forma $0,\overline{31}$) pode ser decomposta na soma infinita $0,31+0,0031+0,000031+...$

Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja, $10^{-2}$ ou $\frac{1}{100}$.

Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita:$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(0,31\cdot 10^{-2k})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(0,31\cdot \frac{1}{100^k})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{31}{10^{2(k+1)}}\right)$$Considerando $\mid q\mid$ o valor absoluto da razão e que $\mid q\mid <1$, temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita $\frac{a_1}{1-q}$:$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(0,31\cdot \frac{1}{100^k})=\frac{0,31}{1-\frac{1}{100}}=\frac{0,31}{\frac{99}{100}}$$Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima:$$\frac{0,31}{\frac{99}{100}}=\frac{31}{99}$$Portanto, $0,\overline{31}=\frac{31}{99}$.

De modo geral, se temos uma dízima periódica com uma parte inteira $a$, um período $p$ composto por $x$ algarismos e um anteperíodo $b$ composto por $y$ algarismos, podemos representar a dízima como uma série infinita:$$a+10^{-y}\cdot [b+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{p}{10^{x(k+1)}}\right)]$$No caso da dízima periódica simples, as variáveis $b$ e $y$ são nulas, visto que não há anteperíodo. Desta forma, podemos simplificar a fórmula:$$a+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{p}{10^{x(k+1)}}\right)$$Exemplo

Seja a dízima periódica composta $1,2\overline{34}$, podemos escrevê-la como uma série infinita utilizando o recurso acima, em que:

$a=1$, $b=2$, $y=1$, $p=34$ e $x=2$.

$a+10^{-y}\cdot [b+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{p}{10^{x(k+1)}}\right)]=1+10^{-1}\cdot [2+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{34}{10^{2(k+1)}}\right)]=1,2+\frac{1}{10}\cdot \left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{34}{10^{2(k+1)}}\right)\right]$

Simplificando:

$=1,2+\frac{1}{10}(\frac{34}{10^2}+\frac{34}{10^4}+\frac{34}{10^6}+...)$

$=1,2+0,034+0,00034+0,0000034+...$

$=1,2343434...\text{ou}1,2\overline{34}$

Como $k$ é uma variável indexada que sempre será um número natural após o incremento de uma unidade no somatório, podemos afirmar que a condição $\mid q\mid <1$ será sempre verdadeira e portanto, teremos uma série convergente, o que nos possibilita encontrar a fração geratriz da dízima a partir da fórmula da série geométrica infinita:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_1\cdot q^k=\frac{a_1}{1-q},\mid q\mid <1$

Neste caso, $a_1=0,34$, e como o período possui 2 algarismos, $q=10^{-2}=\frac{1}{100}$.

$1,2+\frac{1}{10}\cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{34}{10^{2(k+1)}}\right)=1,2+\frac{1}{10}\cdot \frac{a_1}{1-q}=1,2+\frac{1}{10}\cdot \frac{0,34}{1-\frac{1}{100}}=1,2+\frac{34}{990}=\frac{611}{495}$

Portanto, $1,2\overline{34}=\frac{611}{495}$.

Ver também

• 0,999...
• Sistema decimal
• Série geométrica
• Série (matemática)