Progressão geométrica

Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra $q$ (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• $(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\dots ),$ em que $q=2$ e $a_1=1;$
• $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},\dots ),$ em que $q=\frac{1}{2}$ e $a_1=1;$
• $(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\dots ),$ em que $q=-3$ e $a_1=-3;$
• $(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\dots ),$ em que $q=1$ e $a_1=7;$
• $(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\dots ),$ em que $q=0$ e $a_1=3;$

Termo geral

Costuma-se denotar por $a_n$ o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial $a_1$ e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• $a_n=a_1,n=1;$
• $a_{n+1}=q\cdot a_n,n=2,3,4,\dots .$

Podemos demonstrar por indução matemática que:

$$a_n=a_1.q^{n-1}.$$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$$a_n=a_m{q}^{n-m},n,m\in \mathbb{Z}$$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

$$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_1{q}^{i-1}=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots +a_1{q}^{n-1}.$$

Caso $q\ne 1,$ a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula: $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

$$S_n=a_1+a_{1}q+\dots +a_1{q}^{n-1}.$$

Multiplica-se pela razão $q:$

$$q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+\dots +a_1{q}^n.$$

Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

$$q{S}_n-S_n=a_1{q}^n-a_1,$$ o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a $$(q-1)S_n=a_1(q^n-1).$$

Divide-se ambos os termos por $(q-1)\ne 0$ e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de $a_m$ até $a_n$ é calculada pela seguinte fórmula:

$$S_{(m,n)}=\frac{a_m(q^{n-m+1}-1)}{q-1}.$$

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando $|q|<1.$ Sua soma é:

$$S_{\mathrm{\infty }}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_1{q}^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}.$$

Se $q\ge 1$ e $a_1>0$ então sua soma é mais infinito e se $q\ge 1$ e $a_1<0,$ sua soma é menos infinito.

$$S_{\mathrm{\infty }}=\{\begin{array}{cc}\frac{a_1}{1-q},& |q|<1\\ +\mathrm{\infty },& q\ge 1,a_1>0\\ -\mathrm{\infty },& q\ge 1,a_1<0\\ 0,& a_1=0.\end{array}$$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso $q\le -1,$ por exemplo. $q$ pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por $$P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}},$$ e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: $$P_n=\prod _{i=1}^n{a}_i=(a_1\times a_n{)}^{\frac{n}{2}},$$ sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão $q$ deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

• $(4,4,4,4,4,4,4,4,...)$ tem razão $q=1$ e primeiro termo $a_1=4$
• $(6,6,6,6,6,6,6,6,...)$ tem razão $q=1$ e primeiro termo $a_1=6$

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão $q$ é superior a 1 e seu primeiro termo $a_1$ é superior a 0 ou quando sua razão $q$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo $a_1$ é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: $q>1$ e $a_1>0$ ou $0<q<1$ e $a_1<0.$

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

• $(1,3,9,27,81,...)$ tem razão $q=3$ e primeiro termo $a_1=1.$
• $(-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)$ tem razão $q=0,5$ e primeiro termo $a_1=-4.$

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão $q$ é superior a 1 e seu primeiro termo $a_1$ é inferior a 0 ou quando sua razão $q$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo $a_1$ é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: $q>1$ e $a_1<0$ ou $0<q<1$ e $a_1>0.$

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

• $(-4,-8,-16,-32,-64,...)$ tem razão $q=2$ e primeiro termo $a_1=-4.$
• $(64,32,16,8,4,...)$ tem razão $q=1/2$ e primeiro termo $a_1=64.$

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão $q$ é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: $q<0.$

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

• $(3,-6,12,-24,48,...)$ tem razão $q=-2$ e primeiro termo $a_1=3.$
• $(4,-16,64,-256,1024,...)$ tem razão $q=-4$ e primeiro termo $a_1=4.$

Exemplo de progressão geométrica

Abaixo temos uma tabela na qual o termo $a_{n=1}=2$ e o termo $a_{n=2}=6,$ e assim sucessivamente em progressão geométrica.

$P_n=a_1\cdot q^{(n-1)}$ onde $q=\frac{a_2(6)}{a_1(2)}=3$

$n$	$a$
1	2
2	6
3	18
4	54
5	162
6	486
7	1.458
8	4.374
9	13.122
10	39.366
11	118.098
12	354.294
13	1.062.882
14	3.188.646
15	9.565.938
16	28.697.814
17	86.093.442
18	258.280.326
19	774.840.978
20	2.324.522.934

• Qual é o 8º termo da PG acima?

$$\begin{array}{cc}{P}_8& =2\cdot 3^{(8-1)}\\ & =2\cdot 3^7\\ & =2\cdot 2.187\\ & =4.374\end{array}$$

Enésimo termo de uma PG

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente($q$).

$$\begin{array}{cc}q& =\sqrt[n-m]{\frac{P_n}{P_m}}\end{array}$$

Após obtido o quociente($q$) o enésimo($e$) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo $n,$ ou seja, $(n-e).$

$$\begin{array}{cc}{P}_e& =\frac{Pn}{q^{(n-e)}}\end{array}$$

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo($m$) igual a 1.250 e o 8º termo($n$) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo($e$)?

$$\begin{array}{cc}q& =\sqrt[8-5]{\frac{156.250}{1.250}}\\ q& =\sqrt[3]{125}\\ q& =5\end{array}$$

Agora usando o quociente ($q$) na fórmula do enésimo termo ($P_e$).

$$\begin{array}{cc}{P}_e& =\frac{156.250}{5^{(8-2)}}\\ P_e& =\frac{156.250}{5^6}\\ P_e& =\frac{156.250}{15.625}\\ P_e& =10\end{array}$$

O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também

• Progressão aritmética
• Progressão aritmético-geométrica
• Logaritmo
• Função exponencial
• Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
• Série geométrica