Enstrofia

Em dinâmica de fluidos, a enstrofia $ℰ$ pode ser interpretado como outro tipo de densidade potencial; ou, mais concretamente, a quantidade diretamente relacionada à energia cinética no modelo de fluxo que corresponde aos efeitos de dissipação no fluido. É particularmente útil no estudo de fluxos turbulentos, e é frequentemente identificada no estudo de propulsores, bem como na teoria de combustão e meteorologia.

Dado um domínio

$\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$

e um campo vetorial fracamente diferenciável

$u\in H^1({ℝ}^n{)}^n$

que representa um fluxo de fluido, como uma solução para as equações de Navier–Stokes, sua enstrofia é dada por:

$ℰ(𝐮):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }𝐮{|}^{2}dx$

where

$|\mathrm{\nabla }𝐮{|}^2=\sum _{i,j=1}^n{\left|{\partial }_i{u}^j\right|}^2$

. Esta grandeza é igual ao quadrado da seminorma

$|𝐮{|}_{H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n}^2$

da solução no espaço de Sobolev

$H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n$

.

Fluxo incompressível

No caso em que o fluxo seja incompressível, ou equivalentemente que $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$, a enstrofia pode ser descrita como a integral do quadrado da vorticidade $\mathit{\omega }$:

$ℰ(\mathit{\omega })\equiv \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathit{\omega }{|}^{2}dx$

ou, em termos da velocidade de fluxo:

$ℰ(𝐮)\equiv \underset{S}{\int }|\mathrm{\nabla }\times 𝐮{|}^{2}dS$

No contexto das equações incompressíveis de Navier-Stokes, a enstrofia aparece no seguinte resultado útil:

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|𝐮{|}^2)=-\nu ℰ(𝐮)$

A quantidade entre parênteses à esquerda é a energia cinética no fluxo, então o resultado diz que a energia diminui proporcionalmente à viscosidade cinemática $\nu$ vezes a enstrofia.

Ver também

• Circulação atmosférica
• Turbulência

Leitura adicional

• Predefinição:Citar periódico
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• Predefinição:Citar periódico