Equação de Binet

A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.

A equação

A forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa $r$ em função do ângulo $\theta$. Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro $u=1/r$ em função de $\theta$. Defina o momento angular específico como $h=L/m$, onde $L$ é o momento angular e $m$ a massa. A equação de Binet é

$F(u)=-m{h}^2{u}^2(\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u).$

Demonstração

A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é

$F(r)=m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2).$

A conservação do momento angular requer que

$r^2\dot{\theta }=h=constante.$

As derivadas de $r$ em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de $u$ em relação ao ângulo:

$\begin{array}{cc}& \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{\dot{r}}{r^2\dot{\theta }}=-\frac{\dot{r}}{h}\\ & \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}=-\frac{1}{h}\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{\ddot{r}}{h\dot{\theta }}=-\frac{\ddot{r}}{h^2{u}^2}\\ \end{array}$

Combinando as equações acima, obtemos

$F=m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-m(h^2{u}^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+h^2{u}^3)=-m{h}^2{u}^2(\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u)$

Aplicações

O problema de Kepler

O tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=constante>0.$

Se o ângulo $\theta$ é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é

$lu=1+\epsilon \cos \theta .$

A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde $l$ é o semi-latus rectum e $\epsilon$ é a excentricidade da órbita.

A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=\frac{r_s{c}^2}{2h^2}+\frac{3r_s}{2}{u}^2$,

onde $c$ é a velocidade da luz e $r_s$ é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=\frac{r_s{c}^2}{2h^2}+\frac{3r_s}{2}{u}^2-\frac{G{Q}^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^4}(\frac{c^2}{h^2}u+2u^3)$

Onde $Q$ é a carga elétrica e ${\epsilon }_0$ a permissividade do vácuo.

O problema de Kepler inverso

Considere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?

Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos

$l\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}=-\epsilon \cos \theta .$

Assim, a lei de forças é

$F=-m{h}^2{u}^2(\frac{-\epsilon \cos \theta }{l}+\frac{1+\epsilon \cos \theta }{l})=-\frac{m{h}^2{u}^2}{l}=-\frac{m{h}^2}{l{r}^2},$

que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital $h^2/l$ aos valores físicos $GM$ ou $k_e{q}_1{q}_2/m$, obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.

Espirais hiperbólicas

Uma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma

$F(r)=-\frac{k}{r^3}.$

As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=\frac{ku}{m{h}^2}=Cu.$

A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se $C<1$, a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando $C=0$. Se $C=1$, a solução é a espiral hiperbólica. Se $C>1$, a solução é a espiral logarítmica.

Movimento circular fora de eixo

Embora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é

$Du(\theta )=\sec \theta .$

Diferenciando $u$ duas vezes e utilizando a identidade trigonométrica fundamental, obtemos:

$D\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}=\sec \theta {\tan }^2\theta +{\sec }^3\theta =\sec \theta ({\sec }^2\theta -1)+{\sec }^3\theta =2D^3{u}^3-Du.$

Assim, a lei de forças é

$F=-m{h}^2{u}^2(2D^2{u}^3-u+u)=-2m{h}^2{D}^2{u}^5=-\frac{2m{h}^2{D}^2}{r^5}.$

Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a $1/r^5$, é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=C{u}^3$,

que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.

Ver também

• Quantização de Bohr-Sommerfeld / Órbita relativística
• Problema de forças centrais clássico
• Relatividade geral
• Problema de dois corpos na relatividade geral

Referências

• Predefinição:Tradução/ref