Força central

Na imagem, estão representadas 3 forças centrais que o Sol aplica em 3 satélites percorrendo uma trajetória elíptica.

Em mecânica clássica, uma força central é uma força cuja magnitude depende somente da distância r entre os objetos e que é dirigida ao longo da linha que os une, ou seja:

$\overrightarrow{F}=𝐅(𝐫)=F(||𝐫||)\widehat{𝐫}$

em que $\overrightarrow{\text{ F }}$ é a força, F é o vetor função de força, F é um escalar cujo valor é a função de força, r é o vetor posição, ||r|| é o seu comprimento, e $\widehat{𝐫}$ = r/||r|| é o vetor unitário correspondente.

Equivalentemente, um campo de força é central se, e somente se, ele possui simetria esférica.

Propriedades

Um campo de forças centrais é um campo conservativo, isto é, pode sempre ser expresso em termos do gradiente de um potencial:

$𝐅(𝐫)=-\mathrm{\nabla }V(𝐫)\text{, onde }V(𝐫)=\underset{|𝐫|}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F(r)\mathrm{d}r$

(O limite superior de integração é arbitrário, pois o potencial é definido a menos de uma constante aditiva).

Em um campo conservativo, a energia mecânica total (cinética e potencial) é conservada:

$E=\frac{1}{2}m|\dot{𝐫}{|}^2+V(𝐫)=\text{constante}$

Na equação acima, ṙ denota a derivada de r em relação ao tempo, que é a velocidade. Num campo de força central, o momento angular também se conserva:

$𝐋=𝐫\times m\dot{𝐫}=\text{constante}$

pois o torque exercido pela força central é nulo. Como consequência, o corpo se move no plano perpendicular ao vetor momento angular, contendo a origem, e obedece a segunda lei de Kepler. Se o momento angular é zero, o corpo se move ao longo da linha que o une à origem.

Uma conseqüência de ser conservativo é que um campo de força central é irrotacional, isto é, seu rotacional é zero, exceto na origem:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅(𝐫)=\mathrm{𝟎}\text{.}$

Exemplos

A força gravitacional e a força de Coulomb são dois exemplos familiares para os quais F(r) é proporcional à 1/r². Um objeto em tal campo de força com F negativo (correspondente a uma força atrativa) obedece às leis de Kepler do movimento planetário.

O campo de força de um oscilador harmônico no espaço é central, com F(r) proporcional a r e negativo.

Pelo teorema de Bertrand, as leis de forças F(r) = −k/r² e F(r) = −kr são os únicos campos centrais possíveis onde as órbitas são estáveis e fechadas.

Ver também

• Problema clássico de forças centrais

• Predefinição:Tradução/ref