Equação diferencial de Euler

Ao encontrarmos uma equação diferencial linear na seguinte forma

$a_n{x}^n\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_{n-1}{x}^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+a_{1}x\frac{dy}{dx}+a_{0}y=g(x),$

onde os coeficientes $a_n$, $a_{n-1}$, . . . , $a_0$ são constantes, esta é conhecida como equação de Euler-Cauchy. A principal característica desse tipo de equação é que o grau $k=n,n-1,...,1,0$ dos coeficientes $x^k$ corresponde a ordem $k$ de diferenciabilidade $\frac{d^{k}y}{d{x}^k}$

$\downarrow \downarrow \downarrow \downarrow$

$a_n{x}^n\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_{n-1}{x}^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...$

Nota: Para outros sentidos, procure Equação de Euler.

Equação de Euler-Cauchy de Segunda Ordem

Uma análise minuciosa da forma da solução geral da equação homogênea de segunda ordem

$a{x}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+bx\frac{dy}{dx}+cy=0$ $(1)$

A solução para equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea $a{x}^2{y}^{″}+bx{y}^{\prime }+cy=g(x)$ pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a $y_p$ particular.

Nota: O coeficiente $a{x}^2$ de $y^{″}$ é zero em $x=0$. Assim concentraremos nossa atenção para encontrar as soluções gerais definidas no intervalo $(0,\mathrm{\infty })$. Soluções no intervalo $(-\mathrm{\infty },0)$ podem ser obtidas substituindo $t=-x$ na equação diferencial.

Solução da equação homogênea de segunda ordem

Vamos tentar uma solução da forma $y=x^m$, onde $m$ será determinado. De forma análoga com o que acontece quando substituímos $e^{mx}$ equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos $x^m$, cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em $m$ vezes $x^m$, como

$a_k{x}^k\frac{d{k}^y}{d{x}^k}=a_k{x}^{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m-k}=a_{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^m$

Por exemplo, quando substituímos $y=x^m$, a equação de segunda ordem se torna

$a{x}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+bx\frac{dy}{dx}+cy=am(m-1)x^m+bm{x}^m+c{x}^m=[am(m-1)+bm+c]x^m$

Assim $y=x^m$ é uma solução da equação diferencial sempre que $m$ é solução da equação auxiliar

$am(m-1)+bm+c=0$ ou $a{m}^2+(b-a)m+c=0$ $(2)$

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes são um par conjugado.

Caso 1: raízes reais e distintas

Sejam $m_1$ e $m_2$ as raízes reais e distintas de $(2)$ tal que $m_1\ne m_2$. Então $y_1=x^{m_1}$ e $y_2=x^{m_2}$ formam um conjunto fundamental de soluções. Donde a solução geral é dada por

$y=C_1{x}^{m_1}+C_2{x}^{m_2}.$

Caso 2: raízes reais e iguais

Se as raízes de $(2)$ são iguais ($m_1=m_2$) então conhecemos apenas uma solução, $y_1=t^{m_1}$, da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução $y_2$ linearmente independente de $y_1$. Procuramos $y_2$ da forma $y_2=v{y}_1$. Substituindo em $(1)$, temos:

$t^2(v^{″}{y}_1+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v{y_1}^{″})+at(v^{\prime }{y}_1+v{y_1}^{\prime })+bv{y}_1=0.$
Agrupando os termos, obtemos:

$t^2{y}_1{v}^{″}+(2t^2{y_1}^{\prime }+at{y}_1)v^{\prime }+(t^2{y_1}^{″}+at{y_1}^{\prime }+b{y}_1)v=0$

Mas como o argumento de $v$ é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:

$t^{m_1+2}{v}^{″}+(2m_1{t}^{m_1+1}+a{t}^{m_1+1})v^{\prime }=0$

Simplificando:

$t{v}^{″}+(2m_1+a)v^{\prime }=0.$ $(3)$

Veja que a equação $(2)$ reescrevendo como $m^2+(a-1)m+b=0$. Logo, se ela tem raiz dupla é porque $(a-1{)}^2-4b=0$. Neste caso, a raiz dupla é

$m_1=m_2=\frac{1-a}{2}.$

Daí, $2m_1+a=1.$ Substituindo em $(3)$, obtemos:

$t{v}^{″}+v^{\prime }=0,$

que é redutível à primeira ordem. Considerando $z=v^{\prime }$ obtemos

$t\frac{dz}{dt}+z=0$

Separando as variáveis, temos

$\frac{dz}{z}=\frac{-dt}{t}$

Integrando e escolhendo uma constante de integração como sendo $0$, encontramos $\ln z=-\ln t$, de onde segue

$v^{\prime }=z=t^{-1}$

Ao integrarmos novamente, temos $v=\ln t$ e, por fim

$y_2=t^{m_1}\ln t$

Conclusão: se a equação algébrica $(2)$ tem raiz real dupla $m_1=m_2$, duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são

$y_1=t^{m_1}$ e $y_2=t^{m_1}\ln t$.

Caso 3: Raízes complexas conjugadas

Se as raízes de $(2)$ são o par conjugado $m_1=\alpha +i\beta ,m_2=\alpha -i\beta$, onde $\alpha$ e $\beta$ $>0$ são reais, então uma das soluções é

$y=C_1{x}^{\alpha +i\beta }+C_2{x}^{\alpha -i\beta }.$

Porém, quando as raízes da equação quadrática auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, temos que escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tanto, usamos a identidade a seguir:

$x^{i\beta }=(e^{\ln x}{)}^{i\beta }=e^{i\beta \ln x},$

que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que

$x^{i\beta }=\cos (\beta \ln x)+i\mathrm{sen}\beta \ln x.$

Similarmente,

$x^{-i\beta }=\cos (\beta \ln x)-i\mathrm{sen}\beta \ln x.$

Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

$x^{i\beta }+x^{-i\beta }=2\cos (\beta \ln x)$ e $x^{i\beta }-x^{i\beta }=2i\mathrm{sen}(\beta \ln x),$

respectivamente. A partir do fato de que $y=C_1{x}^{\alpha +i\beta }+C_2{x}^{\alpha -i\beta }$ é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para $C_1=C_2=1$ e $C_1=1,C_2=-1$ que

$y_1=x^{\alpha }(x^{i\beta }+x^{-i\beta })$ e $y_2=x^{\alpha }(x^{i\beta }-x^{-i\beta })$

ou $y_1=2x^{\alpha }\cos (\beta \ln x)$ e $y_2=2i{x}^{\alpha }\mathrm{sen}(\beta \ln x)$

também são soluções. Já que $W(x^{\alpha }\cos (\beta \ln x),x^{\alpha }\mathrm{sen}(\beta \ln x))=\beta x^{2\alpha -1}\ne 0,\beta >0$ no intervalo $(0,\mathrm{\infty })$, concluímos que

$y_1=x^{\alpha }\cos (\beta \ln x)$ e $y_2=x^{\alpha }\mathrm{sen}(\beta \ln x)$

constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.Portanto a a solução geral é

$y=x^{\alpha }[C_1\cos (\beta \ln x)+C_2\mathrm{sen}(\beta \ln x)].$