Fator de estrutura

Predefinição:Mais notas Na física da matéria condensada e cristalografia, o fator de estrutura, ou fator estático de estrutura, é uma descrição matemática de como um material espalha radiação incidente. O fator de estrutura é particularmente útil na interpretação de padrões de interferência obtidos em experimentos de raio-x e difração de elétrons e nêutrons.

O fator estático de estrutura é medido desconsiderando-se a energia de fótons, elétrons e nêutrons espalhados. Medidas sobre essa energia levam ao fator dinâmico de estrutura.

Espalhamento por um cristal

Um cristal é um arranjo periódico de átomos em um padrão particular. Cada átomo pode espalhar a radiação incidente, como Raios X, elétrons e nêutrons. Devido ao arranjo periódico dos átomos a interferência das ondas espalhadas por diferentes átomos pode causar um determinado padrão a partir de interferências construtivas e destrutivas. Este é o Padrão de difração gerado pelo cristal.

Na aproximação cinemática para a difração, a intensidade de um raio difratado é dada por:

$I_{\mathrm{\Delta }𝐤}={\left|{\psi }_{\mathrm{\Delta }𝐤}\right|}^2\propto {\left|F_{\mathrm{\Delta }𝐤}\right|}^2$

onde ${\psi }_{\mathrm{\Delta }𝐤}$ é a função de onda de um raio espalhado de um vetor $\mathrm{\Delta }𝐤$, e $F_{\mathrm{\Delta }𝐤}$ é o fator de estrutura, que é dado por:

$F_{\mathrm{\Delta }𝐤}=\sum _j{f}_j{e}^{-i\mathrm{\Delta }𝐤\cdot {𝐫}_j}$

Aqui, ${𝐫}_j$ é a posição de um átomo $j$ na célula unitária, e $f_j$ é o fator de espalhamento do átomo, também chamado de fator de forma atômico. A soma é sobre todos os átomos na célula unitária. Pode-se mostrar que, no caso ideal, a difração ocorre apenas se o vetor de espalhamento $\mathrm{\Delta }𝐤$ é igual a um vetor $𝐊$ da rede recíproca. O fator de estrutura descreve o modo pelo qual um raio incidente é espalhado pelos átomos da célula unitária de um cristal, levando em conta os diferentes fatores de espalhamento através do termo $f_j$. Como os átomos estão espacialmente distribuídos na célula unitária, existirá uma diferença de fase quando consideramos a amplitude de espalhamento de dois átomos diferentes. Tal diferença de fase é levada em conta através da exponencial complexa. O fator de forma atômico, ou fator de espalhamento, depende do tipo de radiação considerada. Como elétrons interagem com a matéria através de diferentes processos em relação a, por exemplo, Raios-X, o fator de forma atômico difere de um caso para outro

Fatores de estrutura para tipos específicos de redes

Para calcular os fatores estrutura para uma rede específica, tem-se que calcular a soma acima ao longo dos átomos na célula unitária. Uma vez que os cristais são freqüentemente descritos em termos dos índices de Miller, é útil examinar um fator de estrutura em relação a estes.

Estrutura cúbica de corpo centrado

O sistema cúbico de corpo centrado é descrito em termos de uma rede cúbica simples com vetores primitivos $a\hat{x},a\hat{y},a\hat{z}$, com uma base consistindo de ${𝐫}_0=\overrightarrow{0}$ and ${𝐫}_1=(a/2)(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$. A rede recíproca correspondente é também cúbica com lado $2\pi /a$.

Em um cristal monoatômico, todos os fatores de forma $f$ são os mesmos. A intensidade do raio difratado espalhado com um vetor $𝐊=(2\pi /a)(h{\hat{x}}^{*}+k{\hat{y}}^{*}+l{\hat{z}}^{*})$ por um plano do cristal com índices de Miller $(hkl)$ é dado por :

$\begin{array}{ccc}{F}_{𝐊}& =& f[e^{-i𝐊\cdot \overrightarrow{0}}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})}]\\ & =& f[1+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})}]\\ & =& f[1+e^{-i\pi (h+k+l)}]\\ & =& f[1+(-1{)}^{h+k+l}]\end{array}$

Nós chegamos então no seguinte resultado para o fator de estrutura de espalhamento por um plano $(hkl)$:

$F_{hkl}=\{\begin{array}{cc}2f,& h+k+l\text{even}\\ 0,& h+k+l\text{odd}\end{array}$

Este resultado nos diz que para uma reflexão aparecer em um experimento de difração, envolvendo um cristal de corpo centrado, a soma dos índices de Miller do plano de espalhamento deve ser par. Se a soma dos índices de Miller é ímpar, a intensidade do feixe difratado é reduzida a zero, devido à interferência destrutiva. Esta intensidade de zero para um grupo de feixes difratados é chamada de ausência sistemática. Como fatores de forma atômica decrescem com ângulo de difração crescente que correspondem a índices de Miller mais elevados, o pico de difração mais intensa a partir de um material com uma estrutura BCC é tipicamente o (110).

Estrutura cúbica de face centrada

No caso de um cristal CFC monoatômico, os átomos da base estão na origem${𝐫}_0=\overrightarrow{0}$ com índices (0,0,0) e estão em três centros das faces ${𝐫}_1=(a/2)(\hat{x}+\hat{y})$, ${𝐫}_2=(a/2)(\hat{y}+\hat{z})$, ${𝐫}_3=(a/2)(\hat{x}+\hat{z})$ com índices dados por (1/2,1/2,0), (0,1/2,1/2), e (1/2,0,1/2). Um argumento similar ao apresentado acimo nos dá a seguinte

$\begin{array}{ccc}{F}_{𝐊}& =& f[e^{-i𝐊\cdot \overrightarrow{0}}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{y})}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{y}+\hat{z})}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{z})}]\\ & =& f[1+(-1{)}^{h+k}+(-1{)}^{k+l}+(-1{)}^{h+l}]\end{array}$

com o resultado

$F_{hkl}=\{\begin{array}{cc}4f,& h,k,l\text{todos pares ou todos ímpares}\\ 0,& h,k,l\text{paridade misturada}\end{array}$

O pico de difração mais intensa a partir de um material que se cristaliza na estrutura CFC é tipicamente o (111)..

Estrutura do cristal de diamante

A estrutura cristalina cúbica do diamante ocorre em diamantes, na maioria dos semicondutores e estanho. A célula base contém 8 átomos localizados nas seguintes posições:

${𝐫}_0=\overrightarrow{0}$

${𝐫}_1=(a/4)(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$

${𝐫}_2=(a/4)(2\hat{x}+2\hat{y})$

${𝐫}_3=(a/4)(3\hat{x}+3\hat{y}+\hat{z})$

${𝐫}_4=(a/4)(2\hat{x}+2\hat{z})$

${𝐫}_5=(a/4)(2\hat{y}+2\hat{z})$

${𝐫}_6=(a/4)(3\hat{x}+\hat{y}+3\hat{z})$

${𝐫}_7=(a/4)(\hat{x}+3\hat{y}+3\hat{z})$

O fator de estrutura então tem a seguinte forma:

$\begin{array}{ccc}{F}_{𝐊}& =& f\left[\begin{array}{c}{e}^{-i𝐊\cdot \overrightarrow{0}}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{y})}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{y}+\hat{z})}+e^{-i𝐊\cdot (a/2)(\hat{x}+\hat{z})}+\\ e^{-i𝐊\cdot (a/4)(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})}+e^{-i𝐊\cdot (a/4)(3\hat{x}+\hat{y}+3\hat{z})}+e^{-i𝐊\cdot (a/4)(3\hat{x}+3\hat{y}+\hat{z})}+e^{-i𝐊\cdot (a/4)(\hat{x}+3\hat{y}+3\hat{z})}\end{array}\right]\\ & =& f\left[\begin{array}{c}1+(-1{)}^{h+k}+(-1{)}^{k+l}+(-1{)}^{h+l}+\\ (-i{)}^{h+k+l}+(-i{)}^{3h+k+3l}+(-i{)}^{3h+3k+l}+(-i{)}^{h+3k+3l}\end{array}\right]\\ & =& f[1+(-1{)}^{h+k}+(-1{)}^{k+l}+(-1{)}^{h+l}]\cdot [1+(-i{)}^{h+k+l}]\end{array}$

com o resultado

• para valores mistos (ímpares e pares combinados) de h, k, l, F² será 0
• se os valores são não mistos e...
  • h+k+l é ímpar então F=4f(1+i) ou 4f(1-i), FF^*=32f²
  • h+k+l é par e divisível por 4 (satisfaz h+k+l=4n) então F = 8f
  • h+k+l é par, mas não é divisível por 4 (não satisfaz h+k+l=4n) então F = 0

Polímeros

Em sistemas poliméricos, o fator de estrutura descreve a intensidade de luz espalhada em função do ângulo de espalhamento. Ele é definido pela seguinte equação:

$S(\overrightarrow{q})=\frac{1}{N^2}\sum _{j=1}^N\sum _{k=1}^N⟨\exp \left[-\mathrm{i}\overrightarrow{q}.\left(\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_k}\right)\right]⟩$

Nessa definição, $N$ é o número de gotas do polímero. Os outros termos são definidos como:

$\overrightarrow{r_j}=$ vetor posição da gota na cadeia polimérica

$\overrightarrow{q}=$ = vetor de espalhamento

$\mathrm{i}$ denota a unidade imaginária

A média é feita sobre todos os possíveis pares j,k que pertencem à mesma cadeia.

Ligações externas

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