Folium de Descartes

Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

$x^3+y^3-3axy=0$.

A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

$x+y+a=0$.

A curva é simétrica para $y=x$.

Seu nome vem do latim folium que significa "folha".

A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

História

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer. Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

Representando a curva graficamente

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:

$r=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }.$

que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas

$x=\frac{3ap}{1+p^3},y=\frac{3a{p}^2}{1+p^3}$.

Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:

• p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
• -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
• p > 0 corresponde ao laço da curva.

Relação com a trissectriz de MacLaurin

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação

$x^3+y^3=3axy$,

E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.

Isto equivale a definir: $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}},y=\frac{X-Y}{\sqrt{2}}.$ No plano $X,Y$ a equação é

$2X(X^2+3Y^2)=3\sqrt{2}a(X^2-Y^2)$.

Se multiplicarmos a direção $Y$ por um fator de $\sqrt{3}$, temos

$2X(X^2+Y^2)=a\sqrt{2}(3X^2-Y^2)$

que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.

Referências

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