Trissectriz de Maclaurin

A trissectriz de Maclaurin com a propriedade da trissecção de um ângulo.

Em geometria, a trissectriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissectriz, isto é, ela pode ser utilizada para trissecionar ângulos. Tal propriedade pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de interseção de duas retas, cada uma girando a uma velocidade uniforme sobre pontos distintos, de tal forma que a relação entre as taxas de rotação é de 1/3 e as retas inicialmente coincidem com a reta divisória entre os dois pontos. A generalização deste tipo de construção é chamada sectriz de Maclaurin. O nome da curva foi dado em homenagem a Colin Maclaurin que a investigou em 1742.

Equações

Considere duas retas que giram em torno dos pontos $P=(0,0)$ e $P_1=(a,0)$ de modo que quando a reta sobre $P$ forma um ângulo $\theta$ com o eixo x, a reta sobre $P_1$ forma um ângulo $3\theta$. Seja $Q$ o ponto da intersecção. Então o ângulo formado pelas retas em $Q$ é $3\theta$. Pela lei dos senos,

$\frac{r}{\sin 3\theta }=\frac{a}{\sin 2\theta }$

de modo que a equação em coordenadas polares é (sob uma translação e rotação)

$r=a\frac{\sin 3\theta }{\sin 2\theta }=\frac{a}{2}\frac{4{\cos }^2\theta -1}{\cos \theta }=\frac{a}{2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Assim, a curva pertence à família das concóides de Sluze.

Em coordenadas cartesianas, sua equação é

$2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)$.

Se a origem é transladada para (a, 0), então uma dedução semelhante à acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares se torna

$r=\frac{a}{2\cos \frac{\theta }{3}}$

O que a torna um exemplo de epispiral.

A propriedade da trissecção

Dado um ângulo $\varphi$, desenhemos um raio de circunferência no ponto $(a,0)$, cujo ângulo com o eixo $x$ é $\varphi$. Desenhemos um raio de circunferência na origem até o ponto onde o primeiro raio de circunferência intersecta a curva. Então, através do gráfico da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo $x$ é $\varphi /3$.

Principais pontos e características

A curva intercepta o eixo x em em $\frac{3a}{2}$, além de um ponto duplo na origem. A reta vertical $x=-\frac{a}{2}$ é uma assíntota. A curva intersecta a reta x = a (o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto) em $(a,\pm \frac{1}{\sqrt{3}}a)$. Como toda cúbica nodal, a curva possui ordem zero.

Relação com outras curvas

A trissectriz de Maclaurin pode ser definida a partir de secções cônicas de três maneiras. Especificamente:

• É inversa em relação ao círculo unitário da hipérbole

$2x=a(3x^2-y^2)$.

• É cissóide ao círculo

$(x+a{)}^2+y^2=a^2$

e à reta $x=\frac{a}{2}$ em relaçao à origem.

• É pedal em relação à origem da parábola

$y^2=2a(x-\frac{3}{2}a)$.

Além disso:

• A inversa em relação ao ponto $(a,0)$ é a trissectriz de Limaçon.

• A trissectrix de Maclaurin está relacionada com o folium de Descartes através de transformações afins.

Referências

• Predefinição:Tradução/ref

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:MathWorld
• "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Trisectrix of MacLaurin" on 2dcurves.com
• "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves
• "Trisectrice de Maclaurin" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ligações externas

• Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI