Fração de variância inexplicada

Em estatística, a fração de variância inexplicada (FVI) no contexto de uma tarefa de regressão é a fração de variância do regressando (variável dependente) Y que não pode ser explicada, ou seja, que não é corretamente predita, pelas variáveis explicativas X.

Definição formal

Suponha que nos seja dada uma função de regressão $f$ rendendo para cada $y_i$ uma estimativa ${\hat{y}}_i=f(x_i)$ onde $x_i$ é o vetor das i-ésimas observações sobre todas as variáveis ​​explicativas.Predefinição:Rp Definimos a fração de variância inexplicada (FVI) como:

$\begin{array}{cc}\text{FVI}& =\frac{{\text{VAR}}_{\text{err}}}{{\text{VAR}}_{\text{tot}}}=\frac{{\text{SS}}_{\text{err}}/N}{{\text{SS}}_{\text{tot}}/N}=\frac{{\text{SS}}_{\text{err}}}{{\text{SS}}_{\text{tot}}}(=1-\frac{{\text{SS}}_{\text{reg}}}{{\text{SS}}_{\text{tot}}},\text{ somente verdadeiro em alguns casos, como regressão linear})\\ & =1-R^2\end{array}$

onde R² é o coeficiente de determinação e VAR_err e VAR_tot são a variância dos resíduos e a variância amostral da variável dependente. SS_err (a soma dos erros quadráticos das previsões, equivalentemente a soma residual dos quadrados), SS_tot (a soma total dos quadrados), e SS_reg (a soma dos quadrados da regressão, equivalentemente a soma explicada dos quadrados) são dados por

$\begin{array}{cc}{\text{SS}}_{\text{err}}& =\sum _{i=1}^N(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2\\ {\text{SS}}_{\text{tot}}& =\sum _{i=1}^N(y_i-\overline{y}{)}^2\\ {\text{SS}}_{\text{reg}}& =\sum _{i=1}^N({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2\text{ e}\\ \overline{y}& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{y}_i.\end{array}$

Alternativamente, a fração de variância inexplicada pode ser definida da seguinte forma:

$\text{FVI}=\frac{\mathrm{MSE}(f)}{\mathrm{var}[Y]}$

onde $MSE(f)$ é o erro quadrático médio da função de regressão $f$.

Explicação

É útil considerar a segunda definição para entender FVI. Ao tentar prever Y, a função de regressão mais ingênua que podemos pensar é a função constante que prevê a média de Y, ou seja, $f(x_i)=\overline{y}$. Segue-se que o MSE desta função é igual à variância de Y; ou seja, SS_err = SS_tot, e SS_reg = 0. Nesse caso, nenhuma variação em Y pode ser contabilizada e a FVI tem então seu valor máximo de 1.

Mais geralmente, o FVI será 1 se as variáveis ​​explicativas X não nos dizem nada sobre Y no sentido de que os valores previstos de Y não variam com Y. Mas à medida que a previsão melhora e o MSE pode ser reduzido, o FVI diminui. No caso de previsão perfeita onde ${\hat{y}}_i=y_i$ para todo i, o MSE é 0, SS_err = 0, SS_reg = SS_tot, e o FVI é 0.