Fração diádica

Frações diádicas no intervalo de 0 a 1

Em matemática, uma fração diádica ou racional diádico é um número racional cujo denominador é uma potência de dois, ou seja, um número da forma $\frac{a}{2^b}$ onde a é um número inteiro e b é um número natural; por exemplo, 1/2 ou 3/8, mas não 1/3. Estes são precisamente os números cuja expansão binária é finita.

Uso em medições

A polegada é normalmente subdividida em frações diádicas ao invés de decimais; similarmente, as divisões costumeiras do galão em meio-galão, quartos e pints são diádicas. Os egípcios antigos usaram frações diádicas em medidas, com denominadores até 64.

Aritmética

A soma, produto ou subtração de quaisquer duas frações diádicas é também outra fração diádica:

$\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a+c}{2^d}(d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a-c}{2^d}(d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{a-2^{b-d}c}{2^b}(d<b)$

$\frac{a}{2^b}\times \frac{c}{2^d}=\frac{a\times c}{2^{b+d}}.$

Contudo, o resultado da divisão de uma fração diádica por outra não é necessariamente outra fração diádica

$\frac{3}{2^b}/\frac{5}{2^b}=\frac{3}{2^b}.\frac{2^b}{5}=\frac{3}{5}.$

Adição módulo 1 forma um grupo; este é o grupo de Prüfer 2.

Ver também

• Número p-ádico