Função de Legendre

Em matemática, as funções de Legendre P_λ, Q_λ e as funções de Legendre associadas PPredefinição:Su, QPredefinição:Su são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros.

Gráficos dos polinômios de Legendre associados PPredefinição:Su(x)

Equação diferencial

As funções de Legendre associadas são soluções da equação de Legendre

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+[\lambda (\lambda +1)-\frac{{\mu }^2}{1-x^2}]y=0,$

onde os números complexos λ e μ são denominados, respectivamente, grau e ordem das funções de Legendre associadas. As funções de Legendre são as funções de Legendre associadas de ordem μ=0.

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares (em 1, −1 e ∞). Como toda equação deste tipo, ela pode ser convertida em uma equação diferencial hipergeométrica mediante uma mudança de variáveis, e sua solução pode ser expressa usando funções hipergeométricas.

Definição

Estas funções podem ser definidas para parâmetros e argumentos complexos gerais:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2}),\text{para }|1-z|<2$

onde $\mathrm{\Gamma }$ é a função gama e ${}_2{F}_1$ é a função hipergeométrica.

A equação diferencial de segunda ordem tem uma segunda solução, $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$, definida como:

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{e^{i\mu \pi }(z^2-1{)}^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}),\text{para}|z|>1.$

Representação integral

As funções de Legendre podem ser escritas como integrais de contorno. Por exemplo

$P_{\lambda }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{1,z}{\int }\frac{(t^2-1{)}^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z{)}^{\lambda +1}}dt$

onde os contorno circulam em torno dos pontos 1 e z nos sentidos positivos, mas não circulam o ponto −1. Para x real

$P_s(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}\cos \theta )}^{s}d\theta =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1))}^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},s\in ℂ$

Referências

• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation
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Ligações externas

• Legendre function P on the Wolfram functions site.
• Legendre function Q on the Wolfram functions site.
• Associated Legendre function P on the Wolfram functions site.
• Associated Legendre function Q on the Wolfram functions site.