Função eta de Dirichlet

Predefinição:Sem fontes Em matemática, na área de teoria analítica dos números, a função eta de Dirichlet é definida como

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

onde ζ é a função zeta de Riemann. No entanto, ela também pode ser utilizada para definir a função zeta. Ela possui uma expansão da Série de Dirichlet, válida para qualquer número complexo s com parte real positiva, dada por

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}.$

Enquanto esta converge apenas para s com parte real positiva, ela é uma somável no sentido de Abel para qualquer número complexo, que serve para definir a função eta como uma função inteira e mostra que a função zeta é meromorfa com um pólo simples em s = 1.

Valores particulares

• η(0) = ¹⁄₂, a soma de Abel da série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
• η(−1) = ¹⁄₄, a soma de Abel de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
• Para k um inteiro > 1, se B_k é o k-ésimo número de Bernoulli então

  $\eta (1-k)=\frac{2^k-1}{k}{B}_k.$

E também:

$\eta (1)=\ln 2$, esta é a série harmônica alternada.

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}$

$\eta (12)=\frac{61499{\pi }^{12}}{56855407305}$