Função sucessora

Em matemática, a função sucessora ou operação sucessora é uma Função recursiva primitiva $S$ tal que $S (n) = n + 1$ para cada número natural $n$ . Por exemplo, $S (1) = 2$ e $S (2) = 3$ . Operações sucessoras são também conhecidas como zeração no contexto de zeroth hiperoperação: $H_{0} (a, b) = 1 + b$ .

Visão geral

A função sucessora é usada nos axiomas de Peano que define os números naturais. Como tal, não é definida pela adição, mas é usada para definir todos os números naturais além do 0, assim como adição. Por exemplo, 1 é definido como sendo $S (0)$ e a adição de números naturais é definido recursivamente por:

\begin{matrix} m + 0 & = m \\ m + S (n) & = S (m) + n \end{matrix}

Isto produz, por exemplo, $5 + 2 = 5 + S (1) = S (5) + 1 = 6 + 1 = 6 + S (0) = S (6) + 0 = 7 + 0 = 7$

Quando os números naturais são uma construídos baseados na teoria dos conjuntos, uma abordagem comum é definir o número 0 como o conjunto vazio {}, e o sucessor $S (x)$ para ser $x \cup {x}$ . O axioma do infinito garante a existência de um conjunto $ℕ$ que contém 0 e é um operador fechado em relação a $S$ , os membros de $ℕ$ são chamados de números naturais.^[1]

A função sucessora é a fundação nível-0 da hierarquia infinita de hiperoperações (usada para construir adição, multiplicação, exponenciação, tetração etc).

É também uma das funções primitivas utilizadas na caracterização da computação por funções recursivas.