Fórmula de Cartan

Predefinição:Mais notas Em Geometria Diferencial, as fórmulas de Cartan relacionam a derivada de Lie ao longo de um campo vetorial, a derivada exterior e a contração.

Derivada de Lie e Contração

Seja $X$ um campo de vetores sobre uma variedade diferenciável. Seja $({\phi }^t{)}_t$ o fluxo (local) gerado por $X$. Recordemos que para uma forma diferencial $\omega$, podemos definir a forma diferencial ${ℒ}_X\omega$ por

${ℒ}_X\omega =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\phi }^t{)}^{\ast }\omega -\omega }{t}.$

Essa forma diferencial é chamada de derivada de Lie de $\omega$ ao longo de $X$. Temos as seguintes propriedades:

${ℒ}_X(\omega \wedge \theta )=({ℒ}_X\omega )\wedge \theta +\omega \wedge ({ℒ}_X\theta )$

${ℒ}_X(d\theta )=d({ℒ}_X\theta ).$

Para $Y$ um campo vetorial, definimos o campo vetorial ${ℒ}_{X}Y$ por

${ℒ}_{X}Y{|}_p=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\phi }_{\ast }^{-t}{Y}_{{\phi }^t(p)}-Y_p}{t}.$

Trata-se do colchete de Lie ${ℒ}_{X}Y=[X,Y]$. Recorde que $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$. A equivalência entre essas duas definições do colchete de Lie pode ser provada localmente; é um bom exercício no uso da regra da cadeia.

Se $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^r(M)$, a contração de $\omega$ por $X$ é a $(r-1)$-forma dada por $i_X\omega (X_1,\dots ,X_{r-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{r-1})$. Denota-se também por $X⌟\omega$. Temos a propriedade

$i_X(\omega \wedge \theta )=(i_X\omega )\wedge \theta +{(-1)}^r\omega \wedge (i_X\theta )$. É consequência da propriedade análoga do produto exterior.

As fórmulas mágicas de Cartan

Fórmula de homotopia de Cartan

A fórmula é ${ℒ}_X=i_X\circ d+d\circ i_X$. Para a prova, note que (i) ambos os membros são transformações lineares; (ii) a fórmula vale para funções suaves; (iii) a fórmula vale para 1-formas exatas, isto é, para diferenciais $df$; (iv) se a fórmula vale para $\omega$ e para $\theta$, então vale para $\omega \wedge \theta$. Localmente, toda forma pode ser expressada utilizando essas operações, logo a fórmula vale para toda forma diferencial.

Segunda fórmula mágica

A segunda fórmula de Cartan é $i_{[X,Y]}={ℒ}_X\circ i_Y-i_Y\circ {ℒ}_X$. Não é muito difícil ver que é uma consequência da igualdade ${ℒ}_{X}Y=[X,Y]$.

Definição invariante da derivada exterior

Seja $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$ e sejam $X$ e $Y$ campos de vetores em $M$. Temos ${ℒ}_X\circ i_Y=d\circ i_X\circ i_Y+i_X\circ d\circ i_Y$, $i_Y\circ {ℒ}_X=i_Y\circ i_X\circ d+i_Y\circ d\circ i_X$; logo $i_{[X,Y]}=d\circ i_X\circ i_Y+i_X\circ d\circ i_Y-i_Y\circ i_X\circ d-i_Y\circ d\circ i_X$, então $\omega ([X,Y])=X(\omega (Y))-d\omega (X,Y)-Y(\omega (X))$, ou, equivalentemente,

$\mathrm{d}\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).$

Com um pouco mais de trabalho, chegamos à fórmula

$\mathrm{d}\omega (X_1,\dots ,X_{k+1})=\sum _{1\le i\le k+1}{(-1)}^{i-1}{X}_i(\omega (X_1,\dots ,\widehat{X_i},\dots ,X_{k+1}))+\sum _{1\le i<j\le k+1}{(-1)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],X_1,\dots ,\widehat{X_i},\dots ,\widehat{X_j},\dots ,X_{k+1}),$

que pode ser usada para definir a derivada exterior, sem menção a sistemas locais de coordenadas.

Parênteses de Poisson

Considere uma variedade simplética $(M,\omega )$ e o parêntese de Poisson associado $\{\cdot ,\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M).$ Sejam ${𝐗}_f$ e ${𝐗}_g$ os campos Hamiltonianos associados às hamiltonianas $f,g$, isto é, $i_{{𝐗}_f}\omega =-df,i_{{𝐗}_g}\omega =-dg$. Pelas duas fórmulas mágicas de Cartan,

$\begin{array}{cc}{i}_{[{𝐗}_f,{𝐗}_g]}\omega & ={ℒ}_{{𝐗}_f}(i_{{𝐗}_g}\omega )-i_{{𝐗}_g}({ℒ}_{{𝐗}_f}\omega )\\ & =i_{{𝐗}_f}(\underset{=0}{\underbrace{d(-dg)}})+d(i_{{𝐗}_f}(i_{{𝐗}_g}\omega ))-i_{{𝐗}_g}(i_{{𝐗}_f}\underset{=0}{\underbrace{d\omega }})-i_{{𝐗}_g}(d(-df))\\ & =d(i_{{𝐗}_f}{i}_{{𝐗}_g}\omega )\\ & =-d\{f,g\}.\end{array}$

Portanto, $[{𝐗}_f,{𝐗}_g]={𝐗}_{\{f,g\}}$. Daí, ${𝐗}_f({𝐗}_g(h))-{𝐗}_g({𝐗}_f(h))={𝐗}_{\{f,g\}}(h)$; logo $\{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{\{f,g\},h\}$. Equivalentemente, $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$. Trata-se da identidade de Jacobi, que imediatamente nos dá o

Teorema de Poisson-Jacobi. Se $f$ e $g$ são integrais de movimento, também o é $\{f,g\}$.