Produto exterior (cunha)

Predefinição:Sem notas Em matemática, o produto exterior, também conhecido como produto cunha, é uma antissimetrização (alternação) do produto tensorial. O produto exterior é uma multiplicação associativa e distributiva de funções multilineares antissimétrica que seja anticomutativo para as funções com número ímpar de variáveis e comutativo de outra maneira. A teoria sistemática inicia na construção da potência exterior para um espaço vetorial.

Embaralhamentos

Se ${\nu }_1,\dots ,{\nu }_r$ são números naturais maiores que zero, um $({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$-embaralhemento é uma permutação $\sigma \in \mathrm{Sym}({\nu }_1+\dots +{\nu }_r)$ tal que as restrições de $\sigma$ a cada bloco $B_j=\{{\nu }_1+\dots +{\nu }_{j-1}+1,\dots ,{\nu }_1+\dots +{\nu }_j\}\subset \{1,2\dots ,{\nu }_1+\dots +{\nu }_r\}$, $j=1,2,\dots ,r$, são crescentes, isto é, $\sigma (1+{\nu }_1+\dots +{\nu }_{j-1})<\sigma (1+{\nu }_1+\dots +{\nu }_{j-1}+1)<\dots <\sigma ({\nu }_1+\dots +{\nu }_j-1)<\sigma ({\nu }_1+\dots +{\nu }_j)$. É claro que $\mathrm{Sh}(1,1,\dots ,1)={𝔖}_n$. Considere o subgrupo $H\le {𝔖}_{{\nu }_1+\dots +{\nu }_r}$ consistindo daquelas permutações que estabilizam os conjuntos $B_j$. Claramente, $H\cong {𝔖}_{{\nu }_1}\times \cdots \times {𝔖}_{{\nu }_r}$. O conjunto de $({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$-embaralhementos será denotado por $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$ (shuffles). Temos uma associação de $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$ em $H\mathrm{\setminus }𝔖$, o espaço de classes $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}H$ dada pela restrição da sobrejeção canônica. Trata-se de uma bijeção. Em outras palavras, $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$ é uma transversal para $H$ em $𝔖$. Em particular, $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)$ tem $\frac{({\nu }_1+\dots +{\nu }_r)!}{{\nu }_1!\cdot {\nu }_2!\cdots {\nu }_r!}$ elementos.

Note que podemos considerar $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)\subset {𝔖}_{{\nu }_1+\dots +{\nu }_{r+1}}$. Feita essa identificação, temos uma bijeção $\mathrm{Sh}({\nu }_1+\dots +{\nu }_r,{\nu }_{r+1})\times \mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_r)\to \mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_{r+1})$ dada por $(\sigma ,\tau )\mapsto \sigma \tau$. Note que de fato a imagem está contida em $\mathrm{Sh}({\nu }_1,\dots ,{\nu }_{r+1})$. Essa associação é injetiva. Por comparação de número de elementos, é uma bijeção.

O produto exterior

Fixe um espaço vetorial sobre um corpo qualquer (até mesmo de característica positiva). Recorde que uma $k$-forma alternada em $V$ é uma função multilinear alternada $\underset{k}{\underbrace{V\times V\times \cdots \times V}}\to F$. Multilinear significa linearidade em cada argumento; dizer que é uma função alternada é o mesmo que dizer que é nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorre um par consecutivo de entradas iguais. Equivalentemente, temos a

Proposição. Uma função $k$-linear é alternada se, e somente se, é nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais.

Uma direção é óbvia. Devemos mostrar que se for nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorra um par consecutivo de entradas iguais, então será nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais. Seja $T$ uma forma $k$-linear que satisfaz a hipótese. Se $\sigma \in {𝔖}_k$, definimos a função multilinear $\sigma (T)$ como $\sigma (T)(v_1,\dots ,v_k)=T(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})$. Se $\tau$ é uma transposição intercalando dois índices consecutivos, da hipótese segue que $\tau (T)=-T=(\mathrm{sgn}\tau )\cdot T$. Vejamos por quê: faça $\tau =(ii+1)$, fixe $v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+2},\dots ,v_k$ e defina $G(x,y)=T(v_1,\dots ,v_{i-1},x,y,v_{i+2},\dots ,v_k)$. Temos que $G(x+y,x+y)=0$; já que $T$ é multilinear, $G$ é bilinear, logo $0=G(x,x)+G(x,y)+G(y,x)+G(y,y)=G(x,y)+G(y,x)$, donde $G(x,y)=-G(y,x)$. Isso mostra que $\tau (T)=(\mathrm{sgn}\tau )\cdot T$. Note agora que $\sigma ({\sigma }^{\prime }(T))=({\sigma }^{\prime }\sigma )(T)$. Então se $\sigma (T)=(\mathrm{sgn}\sigma )\cdot T$ e ${\sigma }^{\prime }(T)=(\mathrm{sgn}{\sigma }^{\prime })\cdot T$, segue que $(\sigma {\sigma }^{\prime })(T)=(\mathrm{sgn}(\sigma {\sigma }^{\prime }))\cdot T$. Agora usamos o seguinte fato da teoria básica dos grupos simétricos: ${𝔖}_k$ é gerado por transposições que intercalam elementos consecutivos. Com isso, temos que $\sigma (T)=(\mathrm{sgn}\sigma )\cdot T$ para toda permutação $\sigma$. Com uma transposição, deixamos adjacentes quaisquer dois índices; logo $-T(v_1,\dots ,x,\dots ,x,\dots ,v_k)=0$, finalizando a prova.

Podemos agora definir:

(Produto exterior). Se $\omega$ é uma $k$-forma alternada e $\theta$ é uma $\ell$-forma alternada, então definimos a $(k+\ell )$-forma $\omega \wedge \theta$ por

$\omega \wedge \theta (v_1,\dots ,v_{k+\ell })=\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,\ell )}(\mathrm{sgn}\sigma )\cdot \omega (v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})\theta (v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+\ell )})$.

Vejamos por que $\omega \wedge \theta$ é uma $(k+\ell )$-forma alternada: sejam $1\le i<k+\ell$, $v_i\in V$, $v_{i+1}\in V$, com $v_i=v_{i+1}$. Devemos provar que $\omega \wedge \theta (v_1,\dots ,v_i,v_{i+1},\dots ,v_{k+\ell })=0$. Particionaremos $\mathrm{Sh}(k,\ell )$ em quatro partes (disjuntas):

$P_1=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,\ell )\mid {\sigma }^{-1}(i)\le k\mathrm{\&}{\sigma }^{-1}(i+1)\le k\}$

$P_2=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,\ell )\mid {\sigma }^{-1}(i)\ge k+1\mathrm{\&}{\sigma }^{-1}(i+1)\ge k+1\}$

$P_3=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,\ell )\mid {\sigma }^{-1}(i)\le k\mathrm{\&}{\sigma }^{-1}(i+1)\ge k+1\}$

$P_4=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,\ell )\mid {\sigma }^{-1}(i)\ge k+1\mathrm{\&}{\sigma }^{-1}(i+1)\le k\}$.

$\mathrm{Sh}(k,\ell )=P_1\bigsqcup P_2\bigsqcup P_3\bigsqcup P_4$.

A soma sobre $P_1$ e a soma sobre $P_2$ se anulam, tendo em vista a alternância de $\omega$ e de $\theta$. Os conjuntos $P_3$ e $P_4$ estão em bijeção. Um vez que os índices são consecutivos, se $\sigma \in P_3$, então $(ii+1)\sigma \in P_4$ e vice-versa. Logo podemos tomar a bijeção $\sigma \mapsto (ii+1)\sigma$. Segue daí que $\omega \wedge \theta$ é alternante.

O produto exterior é associativo; isso é consequência da bijeção mencionada na seção anterior, $\mathrm{Sh}(k+\ell ,r)\times \mathrm{Sh}(k,\ell )\to \mathrm{Sh}(k,\ell ,r)$.

Para elementos do dual de $V$, $f_1,\dots ,f_m\in V^{\ast }$, por indução temos

$f_1\wedge f_2\wedge \cdots \wedge f_m({\xi }_1,\dots ,{\xi }_m)=\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(1,\dots ,1)}(\mathrm{sgn}\sigma )\cdot f_1({\xi }_{\sigma (1)})f_2({\xi }_{\sigma (2)})\dots f_m({\xi }_{\sigma (m)})=\det (f_i({\xi }_j){)}_{i,j}$.

Como consequência, temos a seguinte

Proposição. Se $e_1,\dots ,e_n$ é base para $V$, então denotando por $e^1,\dots ,e^n$ a base dual correspondente, o conjunto dos $e^{i_1}\wedge e^{i_2}\wedge \cdots \wedge e^{i_k}$, com $1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n$, é base para o espaço das $k$-formas alternantes de $V$. Em particular, esse espaço tem dimensão $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

De fato, dada uma $k$-forma alternante $\omega$, temos, de maneira única,

$\omega =\sum \omega (e_{i_1},e_{i_2}\dots ,e_{i_k})e^{i_1}\wedge e^{i_2}\wedge \cdots \wedge e^{i_k}$.

Fixado um vetor $𝐮\in V$, podemos definir a contração de uma forma $r$-linear $\omega$ por $𝐮$. Trata-se da forma $(r-1)$-linear $i_{𝐮}\omega$ definida por $i_{𝐮}\omega (v_1,\dots ,v_{r-1})=\omega (𝐮,v_1,\dots ,v_{r-1})$.

É evidente que $i_{𝐮}\omega$ será alternada se $\omega$ o for.

Proposição. Sejam $\omega$ e $\theta$ formas alternadas, com $\omega$ uma $p$-forma. Vale a igualdade $i_{𝐮}(\omega \wedge \theta )=(i_{𝐮}\omega )\wedge \theta +{(-1)}^p\omega \wedge (i_{𝐮}\theta )$.

Prova. Seja $\theta$ uma $q$-forma alternada. Temos a seguinte bipartição: $\mathrm{Sh}(p,q)=Q_1\bigsqcup Q_2$, onde

$Q_1=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(p,q)\mid \sigma (1)=1\}$

$Q_2=\{\sigma \in \mathrm{Sh}(p,q)\mid \sigma (p+1)=1\}$.

Note que $Q_1$ está em bijeção com $\mathrm{Sh}(p-1,q)$ via $\sigma \mapsto \tilde{\sigma }$, onde $\tilde{\sigma }(x)=\sigma (x+1)-1$ para $x=1,2,\dots ,p+q-1$. Estenda $\tilde{\sigma }$ a todo o conjunto $\{1,\dots ,p+q\}$ fixando $p+q$. Temos $\tilde{\sigma }=(p+qp+q-1\cdots 1)\cdot \sigma \cdot (p+qp+q-1\cdots 1{)}^{-1}$, logo $\mathrm{sgn}\tilde{\sigma }=\mathrm{sgn}\sigma$. Analogamente, $Q_2$ está em bijeção com $\mathrm{Sh}(p,q-1)$ via $\sigma \mapsto \bar{\sigma }$, onde $\bar{\sigma }(x)=\{\begin{array}{cc}\sigma (x)-1& ,x=1,\dots ,p\\ \sigma (x+1)-1& ,x=p+1,\dots ,p+q-1\end{array}$. Note: $\bar{\sigma }=(p+qp+q-1\cdots 1)\cdot \sigma \cdot (p+1p+2\cdots p+q)$, donde $\mathrm{sgn}\bar{\sigma }={(-1)}^p\mathrm{sgn}\sigma$. (Para provar que são de fato bijeções, basta provar que são injetivas, pois $|\mathrm{S}\mathrm{h}(p-1,q)|+|\mathrm{S}\mathrm{h}(p,q-1)|=|\mathrm{S}\mathrm{h}(p,q)|$. Mas é óbvio que são injetivas). A proposição segue.

Proposição. Temos também $\omega \wedge \theta ={(-1)}^{pq}\theta \wedge \omega$.

Já que $\sigma \mapsto \sigma \tau$ é uma bijeção $\mathrm{Sh}(p,q)\to \mathrm{Sh}(q,p)$, onde $\tau \in {𝔖}_{p+q}$ é definida por $\tau (i)=\{\begin{array}{cc}i+p& ,i=1,2,\dots ,q\\ i-q& ,i=q+1,q+2,\dots ,q+p\end{array}$. É fácil identificar os pares de inversão de $\tau$; há $pq$ deles, portanto $\mathrm{sgn}\tau ={(-1)}^{pq}$.

O alternador

Para corpos de característica zero, temos a transformação linear $\mathrm{Alt}$ que vai do espaço das formas $k$-lineares no espaço das $k$-formas alternantes sobre $V$. Definimos

$\mathrm{Alt}(S)({\xi }_1,\dots ,{\xi }_k)=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}(\mathrm{sgn}\sigma )\cdot S({\xi }_{\sigma (1)},\dots ,{\xi }_{\sigma (k)})$.

Se $T$ é uma forma $\ell$-linear, definimos a forma $(k+\ell )$-linear $S\otimes T$ por $(S\otimes T)({\xi }_1,\dots ,{\xi }_k,{\xi }_{k+1},\dots ,{\xi }_{k+\ell })=S({\xi }_1,\dots ,{\xi }_k)\cdot T({\xi }_{k+1},\dots ,{\xi }_{k+\ell })$.

Se $\omega$ é $k$-forma alternante e $\theta$ é $\ell$-forma alternante, definimos

$\omega \tilde{\wedge }\theta =\frac{(k+\ell )!}{k!\ell !}\mathrm{Alt}(\omega \otimes \theta )$.

Proposição. Temos $\tilde{\wedge }=\wedge$.

É consequência imediata do fato de que $\mathrm{Sh}(k,\ell )$ é transversal para $H$ em ${𝔖}_{k+\ell }$.

Teoria Grassmann

A teoria algébrica remonta a Hermann Grassmann. Seu método de construir as estruturas algébricas utilizou geradores e relações e não é manifestamente independente de uma base.

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6