Espaço vetorial simplético

Um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial $V$ sobre um corpo $F$ junto com uma forma simplética, isto é, uma função $\omega :V\times V\to F$ com as seguintes propriedades:

i) bilinearidade: $\omega$ é linear em cada argumento, isto é, para cada $x\in V$, $v\mapsto \omega (v,x)$ é uma transformação linear de $V$ em $F$, e analogamente para o segundo argumento.

ii) alternância: para todo $v\in V$, $\omega (v,v)=0$.

iii) não-degenerescência: se $v\in V$ é tal que $\omega (v,u)=0$ para todo $u\in V$, então $v=0$.

Note que, de ii), obtemos $\omega (u+v,u+v)=0$ quaisquer que sejam $u\in V$ e $v\in V$; usando a bilinearidade, temos que $\omega (u,v)=-\omega (v,u)$, isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de $2$.

Se $V$ tem dimensão finita, a escolha de uma base ordenada $v_1,\dots ,v_n$ nos dá uma matriz $W=(\omega (v_i,v_j){)}_{i,j}\in {\mathrm{Mat}}_{n,n}(F)$ que é não-singular (pois $\omega$ é não-degenerada), antissimétrica e “oca” (hollow) i.e. todas as entradas da diagonal principal são nulas.

Lema. Seja $A\in {\mathrm{Mat}}_{n,n}(R)$ uma matriz quadrada com entradas num anel $R$ comutativo com identidade. Se $n$ é ímpar e $A$ é antissimétrica e oca, então $\det A=0$.

Prova. Como $A$ é oca, temos $\det A=\sum _{\sigma \in D}(\mathrm{sgn}\sigma )a_{1,\sigma (1)}\dots a_{n,\sigma (n)}$, onde $D$ é o conjunto de todas as permutações de $S_n$ sem pontos fixos. Como $n$ é ímpar, não há involuções – elementos $\tau$ com ${\tau }^2=1$ – em $D$. Em $D$, declare $\tau \equiv \sigma ⟺\tau ={\sigma }^{\pm 1}$. Trata-se de uma relação de equivalência. Pela ausência de involuções, cada classe de equivalência tem exatamente dois elementos e é da forma $\{\sigma ,{\sigma }^{-1}\}$. Logo, se $D^{\prime }$ é um conjunto de representantes, então $D=D^{\prime }\cup (D^{\prime }{)}^{-1}$, reunião disjunta. A antissimetria de $A$ finaliza a prova.

Como corolário, obtemos que todo espaço simplético de dimensão finita possui dimensão par.

Se $(V,\omega )$ e $(W,\eta )$ são espaços simpléticos (sobre o mesmo corpo), uma transformação $t:V\to W$ será dita simplética (ou um simplectomorfismo) quando for linear e satisfizer $\eta (t(u),t(v))=\omega (u,v)$. É imediato que se $t$ é simplética, então $\mathrm{Ker}t=\{0\}$. Um isomorfismo de $(V,\omega )$ em $(W,\eta )$ é uma transformação simplética para a qual existe uma inversa também simplética. Não surpreendentemente, no caso dos espaços simpléticos, se uma transformação simplética é invertível, então é um isomorfismo.

Bases simpléticas

Seja $(V,\omega )$ um espaço simplético de dimensão finita $2n$. Uma base ordenada $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ é dita simplética quando $\omega (x_i,x_j)=\omega (y_i,y_j)=0$, $\omega (x_i,y_j)={\delta }_{i,j}$. Sem supor que um espaço simplético finitamente gerado possui dimensão par, é possível mostrar que há uma base com essas propriedades, provando em particular que a dimensão tem de ser par. Trata-se de um processo análogo ao de Gram-Schmidt.

Considere agora um espaço vetorial $U$. Considerando espaço vetorial $U\oplus U^{\ast }$, construído a partir dos pares $(u,t)$ com $u\in U,t\in U^{\ast }$, podemos definir uma forma bilinear alternada ${\omega }_U$ por $\omega ((u,t),(v,s))=s(u)-t(v)$. Vê-se facilmente que $\omega$ é não-degenerada. Num espaço simplético $(V,\eta )$, um subespaço $U\le V$ que induz um isomorfismo $h:(U\oplus U^{\ast },{\omega }_U)\cong (V,\eta )$ é chamado de subespaço Lagrangiano. Que um isomorfismo desse tipo existe é consequência imediata da existência de uma base simplética.

Orientação

Uma forma bilinear alternada $\omega \in {\bigwedge }^2(V)$ num espaço vetorial real $V$ de dimensão $n$ é não degenerada se e somente se $n$ é par e ${\omega }^{n/2}=\omega \wedge \dots \wedge \omega$ é uma forma de volume. Num espaço simplético $(V,\omega )$ com base simplética $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots y_n$, $\omega ={x_1}^{\ast }\wedge {y_1}^{\ast }+{x_2}^{\ast }\wedge {y_2}^{\ast }+\dots +{x_n}^{\ast }\wedge {y_n}^{\ast }$. Então

$\begin{array}{cc}{\omega }^n=& \sum _{(i_1,\dots ,i_n)}{x_{i_1}}^{\ast }\wedge {y_{i_1}}^{\ast }\wedge {x_{i_2}}^{\ast }\wedge {y_{i_2}}^{\ast }\wedge \dots \wedge {x_{i_n}}^{\ast }\wedge {y_{i_n}}^{\ast }\\ =& \sum _{\sigma \in S_n}{x_{\sigma (1)}}^{\ast }\wedge {y_{\sigma (1)}}^{\ast }\wedge {x_{\sigma (2)}}^{\ast }\wedge {y_{\sigma (2)}}^{\ast }\wedge \dots \wedge {x_{\sigma (n)}}^{\ast }\wedge {y_{\sigma (n)}}^{\ast }\\ =& (n!)\cdot {x_1}^{\ast }\wedge {y_1}^{\ast }\wedge {x_2}^{\ast }\wedge {y_2}^{\ast }\dots {x_n}^{\ast }\wedge {y_n}^{\ast }\\ =& (n!)(-1{)}^{n(n-1)/2}{x_1}^{\ast }\wedge {x_2}^{\ast }\wedge \dots \wedge {x_n}^{\ast }\wedge {y_1}^{\ast }\wedge {y_2}^{\ast }\wedge \dots \wedge {y_n}^{\ast }.\end{array}$

Logo ${\omega }^n$ orienta $V$.

Variedades simpléticas

Seja $M$ uma variedade diferenciável. Uma $2$-forma $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$ será dita não degenerada quando o seguinte se verificar: se $X\in 𝔛(M)$ é um campo de vetores tal que $\omega (X,Y)=0$ para todo campo $Y\in 𝔛(M)$, então $X=0$. Isso é equivalente a exigir que ${\omega }_p:T_{p}M\times T_{p}M\to ℝ$ seja não degenerada para todo $p\in M$.

Uma variedade simplética é um par $(M,\omega )$, com $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$ uma $2$-forma não-degenerada e fechada: $d\omega =0$.

O fibrado cotangente

O fibrado cotangente $T^{\ast }M$ de uma variedade $M$ tem como fibra fixada em $p\in M$ o espaço dual $(T_{p}M{)}^{\ast }$. A projeção $T^{\ast }M\to M$ será denotada por $\pi$. Para um sistema local de coordenadas $(q^1,\dots ,q^n)$ em $U\subset M$, as bases $\partial /\partial q^i$ para as fibras do fibrado tangente $TM$ sobre $U$ determinam bases duais para as fibras de $T^{\ast }M$ sobre $U$, que denotaremos por $p_1,\dots ,p_n$, de forma que para $\lambda \in {\pi }^{-1}(U)\subset T^{\ast }M$ temos $p_i(\lambda )=\lambda (\partial /\partial q^i)$. Em $T^{\ast }M$ temos então o sistema adaptado de coordenadas $(q^1\circ \pi ,\dots ,q^n\circ \pi ,p_1,\dots ,p_n)$, que será denotado por $(\stackrel{1}{\stackrel{‾}{q}},\dots ,\stackrel{n}{\stackrel{‾}{q}},p_1,\dots ,p_n)$.

A 1-forma tautológica

Podemos definir a função $\theta :T^{\ast }M\to T^{\ast }(T^{\ast }M)$ por ${\theta }_{(p,\lambda )}(X)=\lambda ({\pi }_{\ast }(X))$. Trata-se de uma $1$-forma em $T^{\ast }M$, chamada de forma tautológica. Num sistema adaptado $(\stackrel{1}{\stackrel{‾}{q}},\dots ,\stackrel{n}{\stackrel{‾}{q}},p_1,\dots ,p_n)$, $\theta$ se expressa como

$\theta {|}_{{\pi }^{-1}(U)}=\sum _{i=1}^n{p}_{i}d\stackrel{i}{\stackrel{‾}{q}}$.

A estrutura simplética canônica do fibrado cotangente

Se fizermos $\omega =d\theta \in {\mathrm{\Omega }}^2(T^{\ast }M)$, então $\omega$ é uma forma simplética em $T^{\ast }M$. Num sistema adaptado, $\omega =\sum d{p}_i\wedge d\stackrel{i}{\stackrel{‾}{q}}$. Disso é consequência que $\omega$ é não degenerada. A variedade simplética $(T^{\ast }M,\omega )$ é orientada pela forma ${\omega }^n$, como anteriormente.

A estrutura simplética canônica de um fibrado cotangente motiva o seguinte

Teorema (Darboux). Se $(M,\eta )$ é uma variedade simplética, em torno de cada ponto há um sistema simplético de coordenadas, isto é, uma carta local $(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n)$ em que $\eta$ se expressa como $\eta =\sum d{p}_i\wedge d{q}^i$.

Uma forma simplética dá, portanto, uma orientação.

Mecânica Hamiltoniana

Suponha que um sistema tenha a variedade diferenciável $M$ como espaço de configurações. No fibrado cotangente, com a estrutura simplética canônica, podemos considerar funções hamiltonianas, isto é, funções suaves $H:T^{\ast }M\to ℝ$. A definição de transformação canônica torna-se mais simples: trata-se de um difeomorfismo $\in \mathrm{Diff}(T^{\ast }M)$ que preserva, via pullback, a forma simplética canônica.

Por não-degenerescência, a uma função hamiltoniana podemos associar um campo de vetores ${𝐗}_H\in 𝔛(T^{\ast }M)$ da seguinte maneira: $i_{{𝐗}_H}(\omega )=-dH$ (contração). Isso permite definir colchetes de Poisson: se $f,g:T^{\ast }M\to ℝ$ são hamiltonianas, $\{f,g\}:T^{\ast }M\to ℝ$ é definida por $\{f,g\}(p)={\omega }_p({𝐗}_f(p),{𝐗}_g(p))$. Em coordenadas simpléticas, recuperamos as fórmulas clássicas. Note-se que a definição de Poisson se generaliza para variedades simpléticas quaisquer. Também se generalizam o Teorema dos Toros Invariantes e a existência de cartas locais (ou semi-locais, em vizinhanças de um toro invariante) do tipo ângulo-ação.

Classificação de $p$-grupos finitos extraespeciais

Um $p$-grupo ($p$ primo) finito $G$ é dito extraespecial quando $G^{\prime }=Z(G)$ e $|G^{\prime }|=|Z(G)|=p$. Exemplos de grupos extraespeciais são o grupo diedral de simetrias do quadrado, $D_8\cong ⟨a,b\mid a^4=1,b^2=1,a^b=a^{-1}⟩$ e o grupo quaterniônico $Q_8\cong ⟨a,b\mid a^4=1,b^2=a^2,a^b=a^{-1}⟩$, ambos de ordem $8=2^3$. Esses dois grupos não são isomorfos. De fato, podemos definir o homomorfismo $\beta :Q_8\to \mathrm{SL}(2,ℂ)$:

$a\mapsto \left(\begin{array}{cc}\sqrt{-1}& 0\\ 0& -\sqrt{-1}\end{array}\right),b\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$

Temos $\mathrm{Ker}\beta =1$. Como $\mathrm{SL}(2,F)$ possui uma única involução, a saber $-I$, quando $F$ é um corpo de característica $\ne 2$, obtemos que $Q_8$ e $D_8$ não são isomorfos, já que $D_8$ possui mais de uma involução.

Seja $G$ um $p$-grupo finito extraespecial com $C=G^{\prime }=Z(G)$. O subgrupo $C$ é cíclico de ordem $p$; fixemos um gerador $c$. Se $x\in G,g\in G$, então $[x,g^p]=[x,g{]}^p$ (isso é verdade pois $G^{\prime }$ é central; use as fórmulas $[x,yz]=\dots$ etc). Como $|C|=p$ , $[x,g^p]=1$, donde $g^p\in C$. Segue que $V=G/C$ é um $p$-grupo abeliano elementar que pode, portanto, ser visto como um espaço vetorial sobre o corpo $\mathrm{GF}(p)$ de $p$ elementos. Se $x\in G,y\in G$ o comutador $[x,y]$ depende apenas das classes $u=\bar{x},v=\bar{y}$ em $G/C$, então faz sentido escrever $[x,y]=c^{f(u,v)}$ para $f:V\times V\to \mathrm{GF}(p)$ bem-definida. Notando que $[x{x}_1,y]=[x,y][x_1,y]$ e $[x,x]=1$, temos que $f$ é uma forma bilinear alternada. Se $f(u,v)=0$ para todo $v\in V$, então $[x,y]=1$ para todo $y\in G$; isso significa que $u=0$, logo $(V,f)$ é um espaço simplético (de dimensão finita, obviamente). Considere agora uma decomposição simplética $V=V_1\oplus \dots \oplus V_n$, onde $V_i$ é bidimensional com base $\{u_i,v_i\}$ de tal forma que $f(u_i,v_i)=1,f(u_i,v_j)=0$ se $i\ne j$ e $f(u_i,u_j)=f(v_i,v_j)=0$ para quaisquer $i,j$. Faça $u_i=\overline{x_i},v_i=\overline{y_i}$. Então $G_i=⟨x_i,y_i⟩$ contém $C$ pois $f(u_i,v_i)=1$, e é um grupo não-Abeliano de ordem $p^3$. Temos agora que $G=G_1{G}_2\dots G_n$. Ademais, $G/C=(G_1/C)\times \dots \times (G_n/C)$ e $[G_i,G_j]=1$ se $i\ne j$. A ordem de $G$ é claramente $p^{2n+1}$.

Produtos centrais

Um grupo $G$ é dito ser o produto central dos subgrupos normais $G_1,\dots ,G_n$ quando $G=G_1\dots G_n$, $[G_i,G_j]=1$ para $i\ne j$ e $G_i\cap \prod _{j\ne i}{G}_j=Z(G)$ para todo $i$ (já que $Z(G_i)\le Z(G)$ temos que $Z(G_i)=Z(G)$). Intuitivamente, os centros estão sendo identificados.

Observação 1. Se $G$ é um produto central dos subgrupos normais $G_1,\dots ,G_n$, então $K=G_{i_1}{G}_{i_2}$ é um produto central dos subgrupos $G_{i_1},G_{i_2}⊲K$. Além disso, se $K$ é um produto central dos subgrupos $K_1,K_2,\dots ,K_{\ell }⊲K$, então $G$ é um produto central dos $G_j$ ($j\ne i_1$, $j\ne i_2$), $K_1,\dots ,K_{\ell }$.

Observação 2. Da mesma forma que um produto semidireto interno dá origem a um produto semidireto externo, é possível construir externamente um produto central de dois grupos $G,H$ com centros isomorfos. Dado um isomorfismo $\theta :Z(G)\to Z(H)$, seja $N=\{(g^{-1},g^{\theta })\mid g\in Z(G)\}⊲G\times H$. O grupo $(G\times H)/N$ é um produto central dos subgrupos $(G\times 1)N/N\cong G$ e $(1\times H)N/N\cong H$. Reciprocamente, se $L$ é um produto central interno dos subgrupos normais $G_1,G_2$, então $L$ é isomorfo ao produto central externo de $G_1$ por $G_2$ segundo o isomorfismo idêntico $\mathrm{I}\mathrm{d}:Z(G_1)\to Z(G_2)$.

Da discussão que precede os três parágrafos anteriores, temos a seguinte

Proposição. Um $p$-grupo extraespecial é um produto central de $n$ subgrupos não-Abelianos de ordem $p^3$ cada, tendo pois ordem $p^{2n+1}$. Um produto central de grupos não-Abelianos de ordem $p^3$ é um grupo extraespecial.

Não é difícil classificar grupos não-abelianos de ordem $p^3$, $p$ primo. Se $p=2$, ocorrem apenas os exemplos do início desta seção, $D_8$ e $Q_8$. Se $p$ é ímpar, as classes de isomorfismo dividem-se em duas, de acordo com a maior ordem possível para um elemento (o expoente do grupo): se o expoente for $p$, teremos um isomorfismo com $⟨x,y\mid x^p=1=y^p,[x,y{]}^x=[x,y]=[x,y{]}^y⟩$; se o expoente for $p^2$ ter-se-á um isomorfismo com $⟨x,y\mid x^{p^2}=1=y^p,x^y=x^{1+p}⟩$. Todos os grupos não-Abelianos de ordem $p^3$ são extraespeciais.

Proposição. Um grupo não-Abeliano de ordem $p^3$ e expoente $p^2$, para $p>2$, tem a apresentação mencionada.

Prova. Seja $x\in G$ de ordem $p^2$ e tome $w\in G$ tal que $⟨\bar{x},\bar{w}⟩=G/Z(G)=G_{\mathrm{a}\mathrm{b}}\cong Z_p\times Z_p$. Caso $w$ tenha ordem $p^2$, então $⟨x⟩\cap ⟨w⟩$ tem ordem $p$; seja $x^p=w^{kp},p\nmid k$. Temos que $1\ne x^{-1}{w}^k$ tem ordem $p$ (aqui usamos a hipótese de que $p$ é ímpar junto com a fórmula ${(gh)}^n=g^n{h}^n{[h,g]}^{n(n-1)/2}$, que vale pois $G^{\prime }$ é central). Como $p\nmid k$ e $x^{-1}{w}^k$ tem ordem $p$, os subgrupos gerados por $x,x^{-1}{w}^k$ intersectam-se trivialmente, donde segue que $G=⟨x,x^{-1}{w}^k⟩$ por comparação de número de elementos. Como $[x,x^{-1}{w}^k]\ne 1$ pois $G$ é não-Abeliano, segue que $⟨[x,x^{-1}{w}^k]⟩=Z(G)=⟨x^p⟩$, logo $[x,x^{-1}{w}^k]=x^{rp}$, $p\nmid r$. Então se $r{r}^{\ast }\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$, $x^p=[x,x^{-1}{w}^k{]}^{r^{\ast }}=[x,{(x^{-1}{w}^k)}^{r^{\ast }}]$. Fazendo $y={(x^{-1}{w}^k)}^{r^{\ast }}$, temos finalmente que $G=⟨x,y⟩$ e $x^{p^2}=1=y^p,x^y=x^{1+p}$, como queríamos. O caso em que $w$ já tem ordem $p$ é análogo.

Concretamente, o primeiro tipo de isomorfismo é representado pelo grupo de matrizes $\left\{\right(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array})|a,b\text{ e }c\text{ em }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\}\le \mathrm{GL}(3,p)$ (se $p=2$ esse subgrupo de $\mathrm{GL}(3,2)$ é diedral), enquanto o segundo é representado pelo produto semidireto $A⋉Z_{p^2}$, com o grupo cíclico $Z_{p^2}$ operado canonicamente, por avaliação, pelo grupo $Z_p\cong A=⟨g\mapsto g^{p+1}⟩\le \mathrm{Aut}{Z}_{p^2}$ (note-se que ${(1+p)}^p\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$ então esse gerador de $A$ tem de fato ordem $p$).

Agora seja $G$ um grupo extraespecial de ordem $p^{2n+1}$. Se $p=2$, afirmo que $G$ é um produto central de $n$ grupos $D_8$ ou um produto central de $n-1$grupos $D_8$ e apenas um $Q_8$. Isso porque o produto central $Q_8\circ Q_8$de dois grupos $Q_8$ é isomorfo ao produto central $D_8\circ D_8$. Usando as apresentações do início da seção, monte apresentações identificando os centros para $D_8\circ D_8\cong ⟨a,b,c,d\mid \dots ⟩$, $Q_8\circ Q_8\cong ⟨x,y,z,w\mid \dots ⟩$ e verifique que $\theta :a\to x,b\to yz,c\to z,d\to wx$ é um isomorfismo. (Note que a apresentação é obtida fazendo o quociente $(Q_8\times Q_8)/⟨(x^2,z^{-2})⟩$, como na Observação 2)

Se $p>2$, então ou $G$ tem expoente $p$ ou $G$ é um produto central de grupos não abelianos de ordem $p^3$ e expoente $p$ e apenas um grupo não abeliano de ordem $p^3$ e expoente $p^2$. De fato, se $L$ e $H$ são grupos não-Abelianos de ordem $p^3$ com $L$ de expoente $p^2$ e $H$ de expoente $p$, temos que os produtos centrais $L\circ L$ e $H\circ L$ são isomorfos. Um isomorfismo $H\circ L\to L\circ L$ é definido por $\alpha :a\to c^{-1}{x}^{\ell },b\to y,c\to c^{k^{\ast }},d\to yd.$ É isomorfismo pois é sobrejetivo e ambos os grupos têm ordem $p^5$, ou note que a associação que se estende à inversa é ${\alpha }^{-1}:x\to c^{k{\ell }^{\ast }}{a}^{{\ell }^{\ast }},y\to b,c\to c^k,d\to b^{-1}d$. Aqui, $⟨a,b\mid \dots ⟩\cong H$, $⟨c,d\mid \dots ⟩\cong L\cong ⟨x,y\mid \dots ⟩$; em $H\circ L$, $[a,b]=c^{kp}$ e em $L\circ L$, $c^p=x^{\ell p}$, $0<k<p$, $0<\ell <p$, $k{k}^{\ast }\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2)$, $\ell {\ell }^{\ast }\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2)$, além, claro, das relações de centralização e daquelas que caracterizam $H,L$ como representantes dos tipos de isomorfismo mencionados há pouco. Agora basta notar que todo elemento de um monoide no alfabeto $\{H,L\}$ em que são impostas apenas as relações $HL=LH$ de comutatividade e $LL=HL$ decorrente do isomorfismo, é da forma $HH\dots H$ ou $HH\dots HL$ (estamos usando implicitamente a Observação 1).

Os argumentos anteriores provam o seguinte

Teorema. Para cada $n=1,2,3,\dots$ e para cada $p$ primo ímpar, existem duas classes de isomorfismo de grupos extraespeciais de ordem $p^{2n+1}$, de acordo com o expoente, $p$ ou $p^2$. A classe de expoente $p$ é representada por um produto central de $n$ grupos isomorfos a $H$; a outra, pelo produto central de um grupo isomorfo a $L$ e $n-1$ grupos isomorfos a $H$. É possível exibir apresentações para representantes de cada uma das duas classes.

Um resultado similar, como já vimos, vale para $p=2$.

Raciocínio inteiramente análogo mostra que um $p$-grupo finito em que o centro é cíclico e o subgrupo derivado tem ordem $p$ (grupos chamados de extraespeciais generalizados) possui a seguinte propriedade: $G^{\prime }\le Z(G)$ e $G/Z(G)$ é um $p$-grupo abeliano elementar de posto par. Esses grupos podem ser expressados como produto central de grupos de dois tipos. Há duas classes de isomorfismo quando fixados $|G|$ e o índice $[G:Z]$ do centro. Isso permite exibir apresentações como anteriormente.