Gradiente inclinado

Na matemática, um gradiente inclinado de uma função harmônica sobre um domínio simplesmente conectado com duas dimensões reais é um campo vetorial ortogonal em todo lugar ao gradiente da função e que tem a mesma magnitude que o gradiente.

Definição

O gradiente de inclinação pode ser definido usando análises complexas e as equações de Cauchy-Riemann .

Deixei $f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)$ ser uma função analítica de valor complexo, em que $u,v$ são funções escalares de valor real das variáveis reais   $x,y$.

Um gradiente de inclinação é definido como: $${\mathrm{\nabla }}^{\perp }u(x,y)=\mathrm{\nabla }v(x,y)$$

e das equações de Cauchy-Riemann, é possível deduzir que $${\mathrm{\nabla }}^{\perp }u(x,y)=(-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x})$$

Propriedades

O gradiente de inclinação tem duas propriedades interessantes. Está em toda parte ortogonal ao gradiente de $u$ e com o mesmo comprimento: $$\mathrm{\nabla }u(x,y)\cdot {\mathrm{\nabla }}^{\perp }u(x,y)=0,\Vert \mathrm{\nabla }u\Vert =\Vert {\mathrm{\nabla }}^{\perp }u\Vert$$

Referências

• Peter Olver, Introduction to Partial Differential Equations, ch. 7, p. 232