Identidade de Li Shanlan

Na matemática, em combinatória, a identidade de Li Shanlan (também chamada fórmula da soma de Li Shanlan) é uma identidade combinatórial atribuída ao matemático chinês Li Shanlan.^[1] Como Li Shanlan é também conhecido como Li Renshu, esta identidade é também referenciada como identidade de Li Renshu.^[2] Esta identidade aparece no terceiro capítulo de Duoji bilei (垛积比类 / 垛積比纇, significando somando séries finitas), um texto matemático de autoria de Li Shanlan publicado em 1867 como parte de suas obras reunidas. O matemático tcheco Josef Kaucky publicou uma prova elementar da identidade juntamente com uma história da mesma em 1964.^[3] Kaucky atribuiu a identidade a um certo Li Jen-Shu. A partir do relato da história da identidade, foi verificado que Li Jen-Shu é na verdade Li Shanlan.^[1] Estudiosos ocidentais estudavam matemática chinesa por seu valor histórico; mas a atribuição dessa identidade a um matemático chinês do século XIX provocou um repensar sobre o valor matemático dos escritos de matemáticos chineses.^[2]

"No Ocidente, Li é mais lembrado por uma fórmula combinatória, conhecida como 'identidade de Li Renshu', que ele deduziu usando apenas métodos matemáticos chineses tradicionais."^[4]

A identidade

A identidade de Li Shanlan estabelece que

\sum_{k = 0}^{p} {(\binom{p}{k})}^{2} (\binom{n + 2 p - k}{2 p}) = {(\binom{n + p}{p})}^{2}

.

Li Shanlan não apresentou a identidade desta forma. Ele a apresentou da maneira tradicional chinesa algorítmica e retórica.^[5]

Provas da identidade

Li Shanlan não deu uma prova da identidade em Duoji bilei. A primeira prova usando equações diferenciais e polinômios de Legendre, conceitos estrangeiros para Shanlan, foi publicada por Pál Turán em 1936, e a prova apareceu em chinês em um artigo de Jack Yung Chang publicado em 1939.^[2] Desde então pelo menos quinze provas diferentes foram apresentadas.^[2] A seguinte é uma das provas mais simples.^[6]

A prova começa expressando $(\binom{n}{q})$ como a identidade de Vandermonde:

(\binom{n}{q}) = \sum_{k = 0}^{q} (\binom{n - p}{k}) (\binom{p}{q - k})

.

Pré-multiplicando ambos os lados por $(\binom{n}{p})$ ,

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{k = 0}^{q} (\binom{n}{p}) (\binom{n - p}{k}) (\binom{p}{q - k})

.

Usando a seguinte relação

(\binom{n}{p}) (\binom{n - p}{k}) = (\binom{p + k}{k}) (\binom{n}{p + k})

a relação acima pode ser transformada em

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{k = 0}^{q} (\binom{p}{q - k}) (\binom{p + k}{k}) (\binom{n}{p + k})

.

Em seguida a relação

(\binom{p}{q - k}) (\binom{p + k}{k}) = (\binom{q}{k}) (\binom{p + k}{q})

é usada para obter

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{k = 0}^{q} (\binom{q}{k}) (\binom{n}{p + k}) (\binom{p + k}{q})

.

Outra aplicação da identidade de Vandermonde produz

(\binom{p + k}{q}) = \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) (\binom{k}{q - j})

e portanto

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{k = 0}^{q} (\binom{q}{k}) (\binom{n}{p + k}) \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) (\binom{k}{q - j})

.

Como $(\binom{p}{j})$ é independente de k, isso pode ser colocado na forma

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) \sum_{k = 0}^{q} (\binom{q}{k}) (\binom{n}{p + k}) (\binom{k}{q - j})

.

Em seguida, o resultado

(\binom{q}{k}) (\binom{k}{q - j}) = (\binom{q}{j}) (\binom{j}{q - k})

fornece

(\binom{n}{p}) (\binom{n}{q}) = \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) \sum_{k = 0}^{q} (\binom{q}{j}) (\binom{j}{q - k}) (\binom{n}{p + k})

= \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) (\binom{q}{j}) \sum_{k = 0}^{q} (\binom{j}{q - k}) (\binom{n}{p + k})

= \sum_{j = 0}^{q} (\binom{p}{j}) (\binom{q}{j}) (\binom{n + j}{p + q})

.

Definindo p = q e trocando j por k,

{(\binom{n}{p})}^{2} = \sum_{k = 0}^{p} {(\binom{p}{k})}^{2} (\binom{n + k}{2 p})

.

A identidade de Li segue a partir disso, substituindo n por n + n e fazendo algum rearranjo de termos na expressão resultante:

{(\binom{n + p}{p})}^{2} = \sum_{k = 0}^{p} {(\binom{p}{k})}^{2} (\binom{n + 2 p - k}{2 p})

.

Sobre Duoji bilei

O termo duoji denota um certo método tradicional chinês de calcular somas de pilhas. A maior parte da matemática desenvolvida na China desde o século XVI está relacionada ao método duoji. Li Shanlan foi um dos maiores expoentes desse método e Duoji bilei é uma exposição de seu trabalho relacionado a esse método. Duoji bilei consiste em quatro capítulos: o Capítulo 1 lida com pilhas triangulares, o Capítulo 2 com séries de potências finitas, o Capítulo 3 com pilhas triangulares auto-multiplicáveis e o Capítulo 4 com pilhas triangulares modificadas.^[7]

Predefinição:Referências

↑ ^1,0 ^1,1 Predefinição:Cite book
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Predefinição:Cite journal
↑ Predefinição:Cite journal
↑ Predefinição:Cite web
↑ Predefinição:Cite book
↑ Predefinição:Cite book
↑ Predefinição:Cite journal

[history-1] 1,0 ^1,1 Predefinição:Cite book

[MI-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Predefinição:Cite journal

[3] Predefinição:Cite journal

[4] Predefinição:Cite web

[5] Predefinição:Cite book

[6] Predefinição:Cite book

[7] Predefinição:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Identidade de Li Shanlan

A identidade

Provas da identidade

Sobre Duoji bilei

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