Identidade de Parseval

Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh.

Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função, $$\Vert f{\Vert }_{L^2(-\pi ,\pi )}^2=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx=2\pi \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$$ onde os coeficientes de Fourier $c_n$ de $f$ são dados por $$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx.$$

Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido $f$ é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp $L^2[-\pi ,\pi ].$ Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para$f\in L^2(ℝ),$

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx.$$

Definição

Seja ${\hat{u}}_1,{\hat{u}}_2,...$ um conjunto ortonormal de vetores em um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja $\hat{u}$ um vetor qualquer nesse espaço. Temos que,

${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\hat{u}\cdot \widehat{u_k}{)}^2=\mid \mid \hat{u}\mid {\mid }^2$

Essa expressão é a famosa igualdade de Parseval. A mesma expressão também pode ser usada indicando uma desigualdade, a chamada desigualdade de Bessel.

${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\hat{u}\cdot \widehat{u_k}{)}^2\le \mid \mid \hat{u}\mid {\mid }^2$

No caso das séries de Fourier, essa igualdade é dada por

$\mid \mid f\mid {\mid }^2=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x{)}^{2}dx=\frac{A_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k^2+b_k^2)$

Teorema

Seja $f$uma função diferenciável continuamente por partes em [-π,π], então seu desenvolvimento em serie de Fourier converge pontualmente em [-π,π] e assume em $x_0$o valor $\frac{f(x_o^{+})+f(x_o^{-})}{2}$

Note que ao escrevermos a série de Fourier da função $f$ na forma abaixo estamos implicando que a série converge em média para $f(x)$.

$f(x)=\frac{A_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cos (kx)+B_k\mathrm{sen}(kx))$

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }||f-{\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cos (kx)+B_k\mathrm{sen}(kx))||⟶C$

Entretanto, o teorema apresentado explicita as condições nas quais ocorre a convergência pontual. Ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função $f(x)$ entre [-π,π] diferenciável continuamente por partes converge para $f(x_0)$quando $x_0$ é um ponto de continuidade da função em questão.