Identidade de Roy

A Identidade de Roy (em homenagem ao economista René Roy), é um importante resultado na microeconomia, por ter aplicações na teoria da escolha do consumidor e na teoria da firma. O lema relaciona a função de demanda Marshaliana $x_i^m$ com as derivadas da função de utilidade indireta $v(p,w)$ em relação aos preços e à renda. A demanda Marshaliana pelo bem $i$ é igual à razão negativa entre as derivadas parciais da função utilidade indireta em relação ao preço $p$ e em relação à renda $w$.

Denotando a função de utilidade indireta como $v(p,w),$ e a função de demanda Marshalliana para o bem $i$, $x_i^m$, a Identidade de Roy pode ser calculada como:${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$$x_i^m=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_i}}{\frac{\partial v}{\partial w}}$, onde $p$ é o preço vetor de bens e $w$ é a renda.${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Derivadas da identidade de Roy

A Identidade de Roy é uma reformulação do lema de Shephard, a fim de obter uma função de demanda Marshalliana para um indivíduo e um bem ($i$) a partir de alguma função de utilidade indireta.${\displaystyle }$O primeiro passo é considerar a identidade trivial obtida substituindo a função gasto para a riqueza ou renda $w$ na função de utilidade indireta $v(p,w)$, em uma função utilidade $u$:${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

$v(p,e(p,u))=u$${\displaystyle }$

Isto nos diz que a função de utilidade indireta é avaliada de tal forma que minimizar o custo para alcançar uma certa utilidade dado um conjunto de preços (de um vetor $p$) é igual à utilidade quando avaliada a esses preços.${\displaystyle }$Tomando a derivada de ambos os lados da equação com relação ao preço de um único bem $p_i$(com o nível de utilidade mantido constante), teremos:${\displaystyle }$

${\displaystyle }$$\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}+\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}=0$.

Reorganizando dá o resultado desejado:

$-\frac{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}}{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}=h_i(p,u)=x_i(p,e(p,u))$${\displaystyle }$

Com o segundo termo sendo a última igualdade seguinte a partir do lema de Shephard e a última igualdade a partir de uma propriedade básica da demanda Hicksiana.

Prova alternativa para o caso diferenciáveis

Há uma prova simples da identidade de Roy, indicada para o caso de uma simplificação de dois bens:

A função de utilidade indireta $v(p_1,p_2,w)$é maximizada considerando a restrição do problema de otimização, caracterizada pela seguinte função Lagrangiana:${\displaystyle }$

$ℒ=u(x_1,x_2)+\lambda (w-p_1{x}_1-p_2{x}_2)$${\displaystyle }$

Pelo teorema do envelope, as derivados da maximização $v(p_1,p_2,w)$com relação aos parâmetros podem ser calculadas como:${\displaystyle }$${\displaystyle }$$\frac{\partial v}{\partial p_1}=-\lambda x_1^m$${\displaystyle }$$\frac{\partial v}{\partial w}=\lambda$

Onde $x_1^m$ é o maximizador (i.e. a demanda Marshalliana  para o bem 1). Com uma aritmética simples, em seguida, obtêm-se a identidade de Roy:${\displaystyle }$

$-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_1}}{\frac{\partial v}{\partial w}}=-\frac{-\lambda x_1^m}{\lambda }=x_1^m$${\displaystyle }$

Aplicação

Isso fornece um método de derivar a função de demanda Marshalliana de um bem para o consumidor a partir da função de utilidade indireta do consumidor. É também fundamental na derivação da equação de Slutsky.

Bibliografia

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