Integral Fracionária

Integral fracionária é uma integral de ordem não-inteira.

Motivação

Nas últimas décadas, o estudo de operadores de ordem não inteira tem ganhado muita relevância e diversas definições para integrais e derivadas de ordem arbitrária foram propostas, dentre as quais podemos destacar as definições de integral e derivada fracionária de Riemann-Liouville, derivada fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, entre outras .

As integrais e derivadas de ordem não inteira possuem uma vasta gama de aplicações, nas mais diversas áreas do conhecimento, como física, química, biomatemática, engenharia, economia, entre outros.

A integral de ordem arbitrária , em outros aspectos, é fundamental para a formalização da definição de derivada fracionária, que é um dos assuntos mais importantes do Cálculo Fracionário.

Calcular a integral fracionária de uma função significa que tal função será integrada um número finito, $n$, de vezes, em que $n$ pode ser um número real ou um número complexo.

Operador Integral de ordem $n$

Sendo $f(t):ℝ\to ℝ$ uma função integrável, definimos o "operador integral" $I$ , agindo sobre $f(t)$, como

$If(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)d{t}_1$

$I^{2}f(t)=I[If(t)]=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}f(t_2)d{t}_{2}d{t}_1$

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$I^{n}f(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}...\underset{0}{\overset{t_{n-1}}{\int }}f(t_n)d{t}_{n}d{t}_{n-1}...d{t}_{2}d{t}_1$.

Integral fracionária segundo Riemann -Liouville

A integral fracionária segundo Riemann-Liouville de ordem $\nu$ de uma função integrável $f:[0,\mathrm{\infty }[\to R$, denotada por $I^{\nu }$ é definida como

$I^{\nu }f(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{\nu -1}f(\tau )d\tau$,

no qual $\mathrm{\Gamma }(\nu )$ denota a função Gama de $\nu$.

Embora essa definição seja absolutamente rigorosa do ponto de vista algébrico, a interpretação física e geométrica deste operador ainda não está clara.

Exemplo 1

A integral de de ordem $\nu$ de $t^n$, em que $n\in \mathbb{N}$, é $\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)t^{\nu +n}}{\mathrm{\Gamma }(\nu +n+1)}$.

De fato, podemos escrever

$I^{\nu }{t}^n=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{\nu -1}{\tau }^{n}d\tau$

Tomando $u=\frac{\tau }{t}$, temos

$I^{\nu }{t}^n=\frac{t^{\nu -1}}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-u{)}^{\nu -1}(ut{)}^{n}tdu$

$I^{\nu }{t}^n=\frac{t^{\nu +n}}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-u{)}^{\nu -1}{u}^{n}du$

no qual o termo $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-u{)}^{\nu -1}{u}^{n}du$ é a função Beta.

Com isso usando a relação entre função Gama e função Beta, concluí-se que

$I^n{t}^{\nu }=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)t^{\nu +n}}{\mathrm{\Gamma }(\nu +n+1)}$.

Em particular, temos $I^{\frac{1}{2}}{t}^2=\frac{2}{\frac{15}{8}\sqrt{\pi }}{t}^{\frac{5}{2}}$.

Exemplo 2

$I^{\alpha }(t-a{)}^{\beta -1}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}(t-a{)}^{\beta +\alpha -1}$

Propriedades

Produto de Convolução

O operador integral de ordem $n$ pode ser visto como um produto de convolução entre a Função de Gel'fand Shilov e a função $f(t)$, ou seja,

$I^{n}f(t)={\varphi }_n(t)*f(t)$

em que * denota a convolução de Laplace e ${\varphi }_n$ é a Função de Gel'fand Shilov.

Lei dos Expoentes

Sejam $\alpha >0$ e $\beta >0$, para as integrais fracionárias é válida a lei dos expoentes, ou seja, $I^{\alpha }[I^{\beta }f(t)]=I^{\alpha +\beta }f(t)=I^{\beta }[I^{\alpha }f(t)]$.