Função de Gel'fand Shilov

A Função de Gel'fand-Shilov (F.G.S.) consiste em uma das funções fundamentais do chamado Cálculo Fracionário, sendo de crucial importância para a definição de Integral Fracionária através de um produto de convolução.

Definição

Sejam $n\in \mathbb{N}-\{0\}$ e $v\in ℝ-{\mathbb{Z}}_{-}$. A função de Gel'fand-Shilov é definida por:

${\varphi }_n(t):=\{\begin{array}{cc}\frac{t^{n-1}}{(n-1)!},& \text{se }t\ge 0\\ 0,& \text{se }t<0.\end{array}$ e ${\varphi }_v(t):=\{\begin{array}{cc}\frac{t^{v-1}}{\mathrm{\Gamma }(v)},& \text{se }t\ge 0\\ 0,& \text{se }t<0.\end{array}$

onde $\mathrm{\Gamma }(v)$ é a função Gama.

OBS: A função Gama apresenta singularidades para $v\in {\mathbb{Z}}_{-}=\{0,-1,-2,-3...\}$.

Propriedade

Sejam $\alpha$ e $\beta$ definidos fora das singularidades da função Gama e $*$ o produto de convolução de Laplace. Tem-se que: ${\varphi }_{\alpha }(t)*{\varphi }_{\beta }(t)={\varphi }_{\alpha +\beta }(t)$.

De fato:

${\varphi }_{\alpha }(t)*{\varphi }_{\beta }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{(t-\tau {)}^{\alpha -1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\frac{{\tau }^{\beta -1}}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}d\tau$$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t[1-\frac{\tau }{t}]{)}^{\alpha -1}{\tau }^{\beta -1}d\tau$

Introduzindo a mudança de variáveis: $u=\frac{\tau }{t}$, segue que $du=\frac{d\tau }{t}$.Estabelecendo os novos limites de integração, temos:

$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t[1-u]{)}^{\alpha -1}{\left(tu\right)}^{\beta -1}tdu$

$=\frac{t^{\alpha +\beta -1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{B(\alpha ,\beta )}{\underbrace{\underset{0}{\overset{1}{\int }}[1-u{]}^{\alpha -1}{\left(u\right)}^{\beta -1}du}}$

Onde $B(\alpha ,\beta )$ é a função Beta para $\alpha$ e $\beta$ para $Re(\alpha )>0$ e $Re(\beta )>0$.

Utilizando o fato de que $B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$, segue que:

${\varphi }_{\alpha }(t)*{\varphi }_{\beta }(t)=\frac{t^{\alpha +\beta -1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}={\varphi }_{\alpha +\beta }(t)$ ${}_{◼}$

Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace da função de Gel'fand-Shilov é dada por: $ℒ\{{\varphi }_v(t)\}=s^{-v}$.

De fato:

$ℒ\{{\varphi }_v(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}\frac{t^{v-1}}{\mathrm{\Gamma }(v)}dt=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(v)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{t}^{v-1}dt$

Introduzindo a mudança de variáveis $st=u\Rightarrow sdt=du$, decorre que:

$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(v)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}\left(\frac{u}{s}{)}^{v-1}\right(\frac{du}{s})$

$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(v)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}\frac{u^{v-1}}{s^v}du$

$=\frac{s^{-v}}{\mathrm{\Gamma }(v)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{v-1}du$

$=\frac{s^{-v}}{\mathrm{\Gamma }(v)}\mathrm{\Gamma }(v)$

$=s^{-v}$

$\therefore ℒ\{{\varphi }_v(t)\}=s^{-v}$ ${}_{◼}$

Comportamento Gráfico

Exemplo 1

Gráfico tridimensional da função de Gel'fand-Shilov, para $0<t\le 5$ e $0<v\le 2.5$:

Gráfico da função de Gel'fand-Shilov tridimensional