Integral de Duhamel

Predefinição:Formatar referências No estudo das teorias de vibrações, a integral de Duhamel é uma maneira de calcular e modelar como sistemas lineares e estruturas respondem a perturbações externas dependentes do tempo.

Introdução

A resposta de um sistema dinâmico causal, linear, amortecido viscosamente e com apenas um grau de liberdade a algum estímulo mecânico $p(t)$ é governada pela seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem:

$m\frac{{\text{d}}^{2}x(t)}{\text{d}{t}^2}+c\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}+kx(t)=p(t)$

em que m representa a massa, x o deslocamento, t representa o tempo, c representa o coeficiente de amortecimento viscoso e k representa a rigidez do sistema ou da estrutura. Em um sistema massa-mola, por exemplo, o termo k representa a constante elástica da mola, enquanto o termo c representa um agente externo dissipante de energia (uma força de atrito, por exemplo) proporcional à velocidade do sistema. Já em um sistema massa-mola-amotecedor, c representa o coeficiente de amortecimento da mola.

Se um sistema está inicialmente em sua posição de equilíbrio, em que ele recebe um pulso unitário no instante t=0, o estímulo mecânico $p(t)$ é a função Delta de Dirac, $\delta (t)$. Assim,

$\dot{x}(0)={\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=0$ . A partir desse fato, ao se resolver a equação diferencial encontra-se uma solução fundamental (conhecida como a função de resposta (ao) pulso unitário, ou resposta impulsiva),

$h(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{m{\omega }_{\text{d}}}{e}^{-\varsigma {\omega }_{\text{n}}t}\mathrm{sen}{\omega }_{\text{d}}t,& t>0\\ 0,& t<0\end{array}$

em que $\varsigma =\frac{c}{2\sqrt{km}}$ é o fator de amortecimento do sistema, ${\omega }_{\text{n}}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ é a frequência angular natural de oscilação do sistema não-amortecido (o que ocorre quando não há a presença de forças dissipativas, ou seja, quando c = 0) e ${\omega }_{\text{d}}={\omega }_{\text{n}}\sqrt{1-{\varsigma }^2}$ é a frequência angular do sistema quando estão presentes fatores de amortecimento (o que ocorre quando forças dissipativas, como a força de atrito, estão presentes). Nesse caso, c $\ne$ 0. Se o impulso ocorre no instante t = $\tau$, em vez de ocorrer em t = 0, então $p(t)=\delta (t-\tau )$ e a resposta ao impulso é:

$h(t-\tau )=\frac{1}{m{\omega }_d}{e}^{-\varsigma {\omega }_n(t-\tau )}\sin [{\omega }_d(t-\tau )]$, $t\ge \tau$.

Estímulo com sobreposição de impulsos

Considerando o estímulo variável no tempo $p(t)$ como uma sobreposição de uma série de impulsos, têm-se que

$p(t)\approx \sum _{\tau <t}p(\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \cdot \delta (t-\tau )$

Como está sendo considerado um sistema linear, a resposta resultante a todos os impulsos pode ser vista como a superposição de uma série de impulsos-resposta,

$x(t)\approx \sum _{\tau <t}p(\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \cdot h(t-\tau )$

Tomando $\mathrm{\Delta }\tau \to 0$ e substituindo a notação de somatório pela integração, pode-se escrever validamente a seguinte equação:

$x(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(\tau )h(t-\tau )d\tau$

Substituindo a expressão $h(t-\tau )$ na equação acima é encontrada a expressão geral da Integral de Duhamel:

$x(t)=\frac{1}{m{\omega }_d}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(\tau )e^{-\varsigma {\omega }_n(t-\tau )}\sin [{\omega }_d(t-\tau )]d\tau$

Proposição

A equação de equilíbrio dinâmico abaixo, para um sistema amortecido viscosamente e com um grau de liberdade, é uma equação homogênea quando $p(t)$ = 0:

$\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+\overline{c}\frac{dx(t)}{dt}+\overline{k}x(t)=0$. Aqui, todos os termos da equação foram divididos pela massa m, isto é, $\overline{c}=\frac{c}{m},\overline{k}=\frac{k}{m}$.

De fato, a solução dessa equação é

$x_h(t)=C_1\cdot e^{-\frac{1}{2}(\overline{c}+\sqrt{{\overline{c}}^2-4\cdot \overline{k}})t}+C_2\cdot e^{\frac{1}{2}(-\overline{c}+\sqrt{{\overline{c}}^2-4\cdot \overline{k}})t}$

A substituição $A=\frac{1}{2}(\overline{c}-\sqrt{{\overline{c}}^2-4\overline{k}}),B=\frac{1}{2}(\overline{c}+\sqrt{{\overline{c}}^2-4\overline{k}}),P=\sqrt{{\overline{c}}^2-4\overline{k}},P=B-A$ leva a

$x_h(t)=C_1{e}^{-B\cdot t}+C_2{e}^{-A\cdot t}$

Uma solução particular para a equação não-homogênea $\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+\overline{c}\frac{dx(t)}{dt}+\overline{k}x(t)=\overline{p(t)}$, onde $\overline{p(t)}=\frac{p(t)}{m}$, pode ser obtida utilizando o método Lagrangeano de encontrar soluções particulares para equações diferenciais ordinárias não-homogêneas.

A solução tem a forma

$x_p(t)=\frac{\int \overline{p(t)}\cdot e^{At}dt\cdot e^{-At}-\int \overline{p(t)}\cdot e^{Bt}dt\cdot e^{-Bt}}{P}$

Substituindo: $\int \overline{p(t)}\cdot e^{At}dt{|}_{t=z}=Q_z,\int \overline{p(t)}\cdot e^{Bt}dt{|}_{t=z}=R_z$, onde $\int x(t)dt{|}_{t=z}$ é a antiderivada de $x(t)$ em t = z. Assim,

$x_p(t)=\frac{Q_t\cdot e^{-At}-R_t\cdot e^{-Bt}}{P}$

Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea acima é dada por:

$x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1\cdot e^{-Bt}+C_2\cdot e^{-At}+\frac{Q_t\cdot e^{-At}-R_t\cdot e^{-Bt}}{P}$

com derivada temporal:

$\frac{dx}{dt}=-A{e}^{-At}\cdot C_2-B{e}^{-Bt}\cdot C_1+\frac{1}{P}[\dot{Q_t}\cdot e^{-At}-A{Q}_t\cdot e^{-At}-\dot{R_t}\cdot e^{-Bt}+B{R}_t\cdot e^{-Bt}]$, onde $\dot{Q_t}=p(t)\cdot e^{At},\dot{R_t}=p(t)\cdot e^{Bt}$

De forma a encontrar as constantes desconhecidas $C_1,C_2$, as condições iniciais em t = 0 serão aplicadas:

$x(t){|}_{t=0}=0:C_1+C_2+\frac{Q_0\cdot 1-R_0\cdot 1}{P}=0\Rightarrow C_1+C_2=\frac{R_0-Q_0}{P}$

${\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=0:-A\cdot C_2-B\cdot C_1+\frac{1}{P}\cdot [-A\cdot Q_0+B\cdot R_0]=0\Rightarrow A\cdot C_2+B\cdot C_1=\frac{1}{P}\cdot [B\cdot R_0-A\cdot Q_0]$

Reunindo as equações das condições iniciais, o seguinte sistema é obtido:

$\begin{array}{cccccccccc}{C}_1& & +& & C_2& & =& & \frac{R_0-Q_0}{P}& \\ B\cdot C_1& & +& & A\cdot C_2& & =& & \frac{1}{P}\cdot [B\cdot R_0-A\cdot Q_0]\end{array}|\begin{array}{cccccc}{C}_1& & =& & \frac{R_0}{P}& \\ C_2& & =& & -\frac{Q_0}{P}\end{array}$

Substituindo novamente as constantes $C_1$ e $C_2$ na expressão de $x(t)$, tem-se que

$x(t)=\frac{Q_t-Q_0}{P}\cdot e^{-A\cdot t}-\frac{R_t-R_0}{P}\cdot e^{-B\cdot t}$

Agora trocando as diferenças entre as antiderivadas nos instantes t = 0 e t = t, $Q_t-Q_0$ e $R_t-R_0$ , por integrais definidas (e utilizando outra variável, $\tau$) é encontrada a solução geral para o caso com condições iniciais iguais a zero,

$x(t)=\frac{1}{P}\cdot [\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overline{p(\tau )}\cdot e^{A\tau }d\tau \cdot e^{-At}-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overline{p(\tau )}\cdot e^{B\tau }d\tau \cdot e^{-Bt}]$

Finalmente, substituindo $c=2\xi \omega m,k={\omega }^{2}m$ e suas variantes divididas pela massa m, $\overline{c}=2\xi \omega ,\overline{k}={\omega }^2$, onde $\xi <1$, obtém-se

$P=2{\omega }_{D}i,A=\xi \omega -{\omega }_{D}i,B=\xi \omega +{\omega }_{D}i$, onde ${\omega }_D=\omega \cdot \sqrt{1-{\xi }^2}$ e '$i$' é a unidade imaginária.

Substituindo essas expressões na solução geral da equação encontrada acima, com condições iniciais iguais a zero, e utilizando a fórmula de Euler, os termos imaginários são cancelados e pode-se escrever a Integral de Duhamel em sua forma final:

$x(t)=\frac{1}{{\omega }_D}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overline{p(\tau )}{e}^{-\xi \omega (t-\tau )}sin({\omega }_D(t-\tau ))d\tau$

• R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.
• Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986

Ligações externas

• Duhamel´s integral
• A integral de Duhamel e sua importância no ensino de vibrações estruturais