Klein 4

Em matemática, o Grupo de Klein (conhecido como Klein 4) é o grupo isomorfo a

${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$

. Com quatro elementos, é o menor grupo não-cíclico. Recebeu o nome Vierergruppe por Felix Klein em 1884. Além de sua aparição na teoria de grupos, temos que o grupo de Klein também surge em outras áreas, como na geometria algébrica.

Tábua da operação definida em um grupo de Klein.

O grupo de Klein é usualmente representado por

$V=\{a,b,c,e\}$

e cada elemento, operado consigo mesmo, corresponde ao elemento neutro

$e$

, enquanto a operação entre dois elementos não-neutros distintos resulta no outro elemento não-neutro (por exemplo,

$a*b=c$

), ou seja,

$V=\{a,b|a^2=b^2=(ab{)}^2=e\}$

.

Também pode ser visto como o grupo gerado pela diferença simétrica entre as partes de um conjunto de dois elementos. Neste caso, o conjunto vazio é o elemento neutro.

Os elementos do grupo de Klein podem ser permutados. Assim, o grupo de automorfismos do grupo de Klein é isomorfo a $S_3$, o grupo de permutações entre três elementos.

Geometricamente, em duas dimensões o grupo de Klein corresponde ao grupo de simetria de um losango ou um retângulo propriamente dito, e seus elementos são a identidade, a reflexão vertical, a reflexão horizontal e a rotação de 180°.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que correspondem ao grupo de Klein.

Grupo abelianos de ordem $p^2$, com $p$ primo, são necessariamente abelianos. Além disso, ou são cíclicos ou são produto de dois cíclicos. Assim, para cada $p$ primo, há (além de isomorfismos) apenas dois grupos de ordem $p^2$: um cíclico e o outro é o produto de dois grupos cíclicos de ordem $p$. No caso de $p=2$, só existem dois grupos de ordem $p^2=4$ : o grupo de Klein, que é isomorfo ao produto de cíclicos, e o grupo cíclico de ordem $4$- isomorfos ao grupo ${\mathbb{Z}}_4$.

Seja $G=\{-1,1\}$ um grupo multiplicativo. Note que $(G\times G,\cdot )$ é um grupo abeliano isomorfo ao grupo de Klein, com a multiplicação coordenada a coordenada. Além disso, tomando $G^n=G\times \cdots \times G$, temos que vários subgrupos de $G^n$ são isomorfos ao grupo de Klein.

Ver Também

• Grupos cíclicos
• Teoremas de Sylow
• Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)