Lei de Planck

A Lei de Planck para radiação de corpo negro exprime a radiância espectral em função da frequência e da temperatura do corpo negro.

I (ν, T) = \frac{2 h ν^{3}}{c^{2}} \frac{1}{(e^{\frac{h ν}{k T}} - 1)}

A tabela seguinte descreve as variáveis e unidades utilizadas:

Variável	Descrição	Unidade
$I$	radiância espectral	J•s⁻¹•m⁻²•sr⁻¹•Hz⁻¹
$ν$	frequência	hertz
$T$	temperatura do corpo negro	kelvin
$h$	constante de Planck	joule / hertz
$c$	velocidade da luz no vácuo	metros / segundo
$e$	número de Euler	sem dimensão
$k$	constante de Boltzmann	joule / kelvin

O comprimento de onda está relacionado a frequência como (supondo propagação de uma onda no vácuo):

λ = \frac{c}{ν} .

Pode-se escrever a Lei de Planck em termos de energia espectral:

u (ν, T) = \frac{4 π}{c} I (ν, T) = \frac{8 π h ν^{3}}{c^{3}} \frac{1}{(e^{\frac{h ν}{k T}} - 1)}

A energia espectral também pode ser expressa como função do comprimento de onda:

u (λ, T) = \frac{8 π h c}{λ^{5}} \frac{1}{(e^{\frac{h c}{λ k T}} - 1)}

Max Planck produziu esta lei em 1900 e a publicou em 1901, na tentativa de melhorar a expressão proposta por Wilhelm Wien que adequou dados experimentais para comprimentos de onda curtos desviados para comprimentos de onda maiores. Ele estabeleceu que a Lei de Planck adequava-se para todos os comprimentos de onda extraordinariamente bem. Ao deduzir esta lei, ele considerou a possibilidade da distribuição de energia eletromagnética sobre os diferentes modos de oscilação de carga na matéria. A Lei de Planck nasceu quando ele assumiu que a energia destas oscilações foi limitada para múltiplos inteiros da energia fundamental E, proporcional à frequência de oscilação $ν$ ^[1]:

$E = n h ν$ .

Planck acreditava que a quantização aplicava-se apenas a pequenas oscilações em paredes com cavidades (que hoje conhecemos como átomos), e não assumindo as propriedades de propagação da Luz em pacotes discretos de energia. Além disto, Planck não atribuiu nenhum significado físico a esta suposição, mas não acreditava que fosse apenas um resultado matemático que possibilitou uma expressão para o espectro emitido pelo corpo negro a partir de dados experimentais dos comprimentos de onda. Com isto Planck pôde resolver o problema da catástrofe do ultravioleta encontrada por Rayleigh e Jeans que fazia a radiância espectral tender ao infinito quando o comprimento de onda aproximava-se de zero, o que experimentalmente não é observado. É importante observar também que para a região do visível a fórmula de Planck pode ser aplicada pela aproximação de Wien e da mesma forma para temperaturas maiores e maiores comprimentos de onda podemos ter também a aproximação dada por Rayleigh e Jeans.