Lema de Chow

Lema de Chow, em homenagem a Wei-Liang Chow, é um dos resultados fundamentais em geometria algébrica. Diz aproximadamente que um morfismo próprio está bastante próximo de ser um morfismo projetivo. Mais precisamente, uma versão afirma o seguinte:Predefinição:Sfn

Se $X$ é um esquema que é próprio sobre um esquema Noetheriano base $S$, então existe uma variedade projetiva $S$-esquema $X^{\prime }$ e um $S$-morfismo sobrejetivo $f:X^{\prime }\to X$ que induz um isomorfismo $f^{-1}(U)\simeq U$ para algum para algum aberto denso $U\subseteq X.$

Prova

A prova aqui é padrão.Predefinição:Sfn

Redução ao caso de $X$ irredutível

Podemos primeiro reduzir ao caso em que $X$ é irredutível. Para começar, $X$ é noetheriano, pois é de tipo finito sobre uma base noetheriana. Portanto, ele tem um número finito de componentes irredutíveis $X_i$, e afirmamos que para cada $X_i$ existe um esquema $S$ próprio irredutível $Y_i$ de modo que $Y_i\to X$ tenha uma imagem teórica de conjuntos $X_i$ e seja um isomorfismo no subconjunto denso aberto $X_i\setminus {\cup }_{j\ne i}{X}_j$ de $X_i$. Para ver isso, defina $Y_i$ como a imagem teórica do esquema da imersão aberta.

$X\setminus {\cup }_{j\ne i}{X}_j\to X.$

Como $X\setminus {\cup }_{j\ne i}{X}_j$ é teoricamente definido noetheriano para cada $i$, o mapa $X\setminus {\cup }_{j\ne i}{X}_j\to X$ é quase compacto e podemos calcular esta imagem teórica do esquema afim localmente em $X$, provando imediatamente as duas afirmações. Se pudermos produzir para cada $Y_i$ um esquema $S$ projetivo ${Y_i}^{\prime }$ como no enunciado do teorema, então podemos tomar $X^{\prime }$ será a união disjunta $\coprod {Y_i}^{\prime }$ e $f$ será a composição $\coprod {Y_i}^{\prime }\to \coprod Y_i\to X$: este mapa é projetivo e um isomorfismo sobre um conjunto denso e aberto de $X$, enquanto $\coprod {Y_i}^{\prime }$ é um $S$ projetivo, pois é uma união finita de esquemas $S$ projetivos. Como cada $Y_i$ é próprio sobre $S$, completamos a redução ao caso $X$ irredutível.

$X$ pode ser coberto por um número finito de esquemas $S$ quase-projetivos

A seguir, mostraremos que $X$ pode ser coberto por um número finito de subconjuntos abertos $U_i$ de modo que cada $U_i$ seja quase projetivo sobre $S$. Para fazer isso, podemos, por quase compactação, primeiro cobrir $S$ com um número finito de aberturas afins $S_j$, e então cobrir a pré-imagem de cada $S_j$ em $X$ por um número finito de aberturas afins $X_{jk}$ cada uma com uma imersão fechada em ${𝔸}_{S_j}^n$ desde $X\to S$ é de tipo finito e, portanto, quase compacto. Compondo este mapa com as imersões abertas ${𝔸}_{S_j}^n\to {\mathbb{P}}_{S_j}^n$ e ${\mathbb{P}}_{S_j}^n\to {\mathbb{P}}_S^n$, vemos que cada $X_{ij}$ é um subesquema fechado de um subesquema aberto de ${\mathbb{P}}_S^n$. Como ${\mathbb{P}}_S^n$ é noetheriano, todo subesquema fechado de um subesquema aberto também é um subesquema aberto de um subesquema fechado e, portanto, cada $X_{ij}$ é quase projetivo sobre $S$.

Construção de $X^{\prime }$ e $f:X^{\prime }\to X$

Agora suponha que $\{U_i\}$ seja uma cobertura aberta finita de $X$ por esquemas $S$ quase-projetivos, com ${\varphi }_i:U_i\to P_i$ uma imersão aberta em um esquema $S$ projetivo. Defina $U={\cap }_i{U}_i$, que não é vazio, pois $X$ é irredutível. As restrições do ${\varphi }_i$ para $U$ definem um morfismo

$\varphi :U\to P=P_1{\times }_S\cdots {\times }_S{P}_n$

de modo que $U\to U_i\to P_i=U\stackrel{\varphi }{\to }P\stackrel{p_i}{\to }{P}_i$, onde $U\to U_i$ é a injeção canônica e $p_i:P\to P_i$ é a projeção. Deixando $j:U\to X$ denotar a imersão aberta canônica, definimos $\psi =(j,\varphi {)}_S:U\to X{\times }_{S}P$, que afirmação é uma imersão. Para ver isso, observe que esse morfismo pode ser fatorado como o morfismo do gráfico $U\to U{\times }_{S}P$ (que é uma imersão fechada já que $P\to S$ é separado) seguida pela imersão aberta $U{\times }_{S}P\to X{\times }_{S}P$; como $X{\times }_{S}P$ é noetheriano, podemos aplicar a mesma lógica de antes para ver que podemos trocar a ordem das imersões abertas e fechadas.

Agora seja $X^{\prime }$ a imagem teórica do esquema de $\psi$, e fatore $\psi$ como

$\psi :U\stackrel{{\psi }^{\prime }}{\to }{X}^{\prime }\stackrel{h}{\to }X{\times }_{S}P$

onde ${\psi }^{\prime }$ é uma imersão aberta e $h$ é uma imersão fechada. Sejam $q_1:X{\times }_{S}P\to X$ e $q_2:X{\times }_{S}P\to P$ as projeções canônicas. Definir

$f:X^{\prime }\stackrel{h}{\to }X{\times }_{S}P\stackrel{q_1}{\to }X,$

$g:X^{\prime }\stackrel{h}{\to }X{\times }_{S}P\stackrel{q_2}{\to }P.$

Mostraremos que $X^{\prime }$ e $f$ satisfazem a conclusão do teorema.

Verificação das propriedades de $X^{\prime }$ e $f$

Para mostrar que $f$ é surjectiva, notamos primeiro que é própria e portanto fechada. Como a sua imagem contém o conjunto aberto denso $U\subset X$, vemos que $f$ tem de ser sobrejetiva. É também fácil ver que $f$ induz um isomorfismo em $U$: podemos apenas combinar os factos de que $f^{-1}(U)=h^{-1}(U{\times }_{S}P)$ e $\psi$ é um isomorfismo sobre a sua imagem, pois $\psi$ factoriza como a composição de uma imersão fechada seguida de uma imersão aberta $U\to U{\times }_{S}P\to X{\times }_{S}P$. Resta mostrar que $X^{\prime }$ é projetivo sobre $S$.

Fá-lo-emos mostrando que $g:X^{\prime }\to P$ é uma imersão. Definimos as seguintes quatro famílias de subesquemas abertos:

$V_i={\varphi }_i(U_i)\subset P_i$

$W_i=p_i^{-1}(V_i)\subset P$

${U_i}^{\prime }=f^{-1}(U_i)\subset X^{\prime }$

${U_i}^{″}=g^{-1}(W_i)\subset X^{\prime }.$

Como o $U_i$ cover $X$, o ${U_i}^{\prime }$ cover $X^{\prime }$, e queremos mostrar que o ${U_i}^{″}$ também cobre $X^{\prime }$. Faremos isso mostrando que ${U_i}^{\prime }\subset {U_i}^{″}$ para todo $i$. Basta mostrar que $p_i\circ g{|}_{{U_i}^{\prime }}:{U_i}^{\prime }\to P_i$ é igual a ${\varphi }_i\circ f{|}_{{U_i}^{\prime }}:{U_i}^{\prime }\to P_i$ como mapa de espaços topológicos. Substituindo ${U_i}^{\prime }$ pela sua redução, que tem o mesmo espaço topológico subjacente, temos que os dois morfismos $({U_i}^{\prime }{)}_{red}\to P_i$ são ambos extensões de o mapa subjacente do espaço topológico $U\to U_i\to P_i$, então pelo lema reduzido a separado eles devem ser iguais, pois $U$ é topologicamente denso em $U_i$. Portanto ${U_i}^{\prime }\subset {U_i}^{″}$ para todo $i$ e a afirmação é comprovada. O resultado é que os $W_i$ cover $g(X^{\prime })$, e podemos verificar que $g$ é uma imersão verificando que $g{|}_{{U_i}^{″}}:{U_i}^{″}\to W_i$ é uma imersão para todos os $i$. Para isso, considere o morfismo.

O resultado é que os $W_i$ cobrem $g(X^{\prime })$, e podemos verificar que $g$ é uma imersão verificando que $g{|}_{{U_i}^{″}}:{U_i}^{″}\to W_i$ é uma imersão para todos os $i$. Para isso, considere o morfismo

$u_i:W_i\stackrel{p_i}{\to }{V}_i\stackrel{{\varphi }_i^{-1}}{\to }{U}_i\to X.$

Como $X\to S$ é separado, o morfismo do grafo ${\mathrm{\Gamma }}_{u_i}:W_i\to X{\times }_S{W}_i$ é uma imersão fechada e o grafo $T_i={\mathrm{\Gamma }}_{u_i}(W_i)$ é um subesquema fechado de $X{\times }_S{W}_i$; se mostrarmos que $U\to X{\times }_S{W}_i$ fatora através deste gráfico (onde consideramos $U\subset X^{\prime }$ através da nossa observação de que $f$ é um isomorfismo sobre $f^{-1}(U)$ anterior), então o mapa de ${U_i}^{″}$ também deve fatorar este gráfico pela construção do esquema- imagem teórica. Como a restrição de $q_2$ a $T_i$ é um isomorfismo de $W_i$, a restrição de $g$ a ${U_i}^{″}$ será uma imersão em $W_i$, e nossa afirmação será comprovada. Seja $v_i$ a injeção canônica $U\subset X^{\prime }\to X{\times }_S{W}_i$; temos que mostrar que existe um morfismo $w_i:U\subset X^{\prime }\to W_i$ tal que $v_i={\mathrm{\Gamma }}_{u_i}\circ w_i$. Pela definição do produto de fibra, basta provar que $q_1\circ v_i=u_i\circ q_2\circ v_i$, ou identificando $U\subset X$ and $U\subset X^{\prime }$, que $q_1\circ \psi =u_i\circ q_2\circ \psi$. Entretanto $q_1\circ \psi =j$ and $q_2\circ \psi =\varphi$, então a conclusão desejada segue da definição de $\varphi :U\to P$ e $g$ é uma imersão. Como $X^{\prime }\to S$ é próprio, qualquer morfismo $S$ de $X^{\prime }$ é fechado e, logo, $g:X^{\prime }\to P$ é uma imersão fechada, então $X^{\prime }$ é projetivo. $◼$

Bibliografia

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