Lema de Jordan

O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo. É denominado em memória de Camille Jordan.

Definições

Definição 1

Sejam C_R uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que $\frac{1}{|z|}$ quando |z|→$\mathrm{\infty }$, ou seja, $C_R=\{z:z=R{e}^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}$

O caminho C é a concatenação dos caminhos C ₁ e C ₂.

Definição 2

Consideremos a integral :$I_R=\underset{R}{\int }f(z)dz$, com Γ_R = {Z=Re^iθ, 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma :$f(z)=e^{iaz}g(z),z\in C_R,$ Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈Γ_R tende a zero quando R tende ao infinito então:

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_R=0$

Aplicações

Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.

Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função $g(z)$ convenientes.

Demonstração

Por definição:

$\begin{array}{cc}\underset{C_R}{\int }f(z)dz& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}iR{e}^{i\theta }d\theta \\ & =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }d\theta .\end{array}$

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

$\begin{array}{cc}{I}_R:=|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|& \le R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }|d\theta \\ & =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })|e^{-aR\sin \theta }d\theta .\end{array}$

Utilizando $M_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\right(R{e}^{i\theta }\left)\right|$ e a simetria Predefinição:Nowrap = Predefinição:Nowrap, temos:

$I_R\le R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta =2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta .$

De fato o Predefinição:Nowrap é concavo neste intervalo Predefinição:Nowrap, logo, o gráfico Predefinição:Nowrap estará acima da linha $\frac{2\theta }{\pi }$, consequentemente

$\sin \theta \ge \frac{2\theta }{\pi }$

portanto, como $M_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\right(R{e}^{i\theta }\left)\right|\to 0\text{quando }R\to \mathrm{\infty }$, temos:

$I_R\le 2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-2aR\theta /\pi }d\theta =\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})M_R\le \frac{\pi }{a}{M}_R.$

Exemplo

Calcule a seguinte integral:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx$

Resolução

Seja a função:

$f(z)=\frac{1}{1+z^2}$

Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)

$z\in ℂ\setminus \{i,-i\}$

Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx+\underset{{\mathrm{\Gamma }}_R}{\int }\frac{1}{1+z^2}dz=2\pi i\mathrm{Res}(f,i).$

E, por f ser de polo simples

$2\pi i\mathrm{Res}(f,i)=2\pi i\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=2\pi i\underset{z\to i}{\lim }\frac{1}{z+i}=2\pi i\frac{1}{2i}=\pi$

Assim,

$\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx+\underset{{\mathrm{\Gamma }}_R}{\int }\frac{1}{1+z^2}dz=\pi$

Utilizando o lema de jordan, quando R →$\mathrm{\infty }$, temos

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{1+z^2}\right|=0$ ,pela substituição z = R e^iθ (lembrando que e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)

Contudo, quando R →$\mathrm{\infty }$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx+0=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=\pi$

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro

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